Frage zu einem Beweis von FTA in A classic Introduction to modern number theory

Ich habe gerade mit der Arbeit an Eine klassische Einführung in die moderne Zahlentheorie von K. Ireland und M. Rosen begonnen und ich habe eine Frage.

Im ersten Kapitel beweisen sie das folgende Lemma:

Jede ganze Zahl ungleich Null kann als Produkt von Primzahlen geschrieben werden.

Dann erwähnen sie Folgendes.

Durch das Sammeln von Begriffen können wir schreiben$n=p_1^{\alpha_1}\cdots p_m^{\alpha_m}$, bei dem die$p_i$'s sind Primzahlen und die$a_i$'s sind nichtnegative ganze Zahlen. [...] Die Exponenten$a(p)$sind nichtnegative ganze Zahlen und natürlich$a(p)=0$für alle bis auf endlich viele Primzahlen.

Nachdem er einige andere Lemmata bewiesen hat, beweist er dies$a(p)=\text{ord}_pn$(Wo$\text{ord}_pn$ist die größte nichtnegative ganze Zahl$t$wofür$p^t\mid n$).

Meine Frage ist: Geht er (entweder Rosen oder Irland) nicht bereits (implizit natürlich) davon aus$a(p)=\text{ord}_pn$wenn er sagt, dass wir Begriffe sammeln und schreiben können$n=p_1^{\alpha_1}\cdots p_m^{\alpha_m}$? (oder er beweist das nur$\text{ord}_pn$ist einzigartig?)

Ich verstehe das angesichts einer Primzahl$p,$ $\text{ord}_p$ist eine Funktion, die ganze Zahlen auf nichtnegative ganze Zahlen abbildet (and$+\infty$wenn die Eingabe ist$0$), und dass dies impliziert, dass die Primfaktorzerlegung einer ganzen Zahl ungleich Null$n$ist eindeutig (bis zur Bestellung), aber nur, wenn wir "Begriffe sammeln", wie es die Autoren tun, aber wie definieren wir die genau$a(p)$'S?

Beim Beweis (der "übliche" Beweis, den jeder kennt) erfolgt der Eindeutigkeitsteil der FTA per Induktion weiter$n$(in diesem Buch wird die Existenz auch per Induktion bewiesen ), wir müssen keine "Begriffe sammeln", also nehmen wir nicht wirklich etwas "Illegales" an.

Ich hoffe, dass meine Frage klar ist, und bin für jede Hilfe dankbar (und es tut mir leid, wenn dies eine dumme Frage ist, vielleicht bin ich nur ein bisschen verwirrt).