Unendlich viele Primzahlen ≡2(mod3)≡2(mod3)\equiv 2 \pmod 3 beweisen Korrektheit

Ich weiß, dass ich bereits eine Frage zu diesem Beweis gestellt habe. Ich wollte jedoch sehen, ob meine Umformulierung dieses Beweises (mit meinem besseren Verständnis in meinen eigenen Worten und nach einiger Zeit) richtig ist.

Beweisen Sie: Es gibt unendlich viele Primzahlen mit Rest 2 wenn geteilt durch 3 :

Beweis: Angenommen nicht. Angenommen, es gibt endlich viele Primzahlen mit Rest 2 wenn geteilt durch 3 . Das ist:

Es gibt endlich viele Primzahlen der Form P = 3 k + 2 für einige k ∈ Z . Daher können wir eine Liste dieser ungeraden Primzahlen erstellen (um 2 auszuschließen) und ihr Produkt nehmen:

N = P 1 P 2 ⋯ P R für einige R ∈ Z

Jetzt bedenke 3 N + 2 :

Wir wissen das 3 N + 2 ∈ Z und hat eine Zerlegung in Primzahlen. Das wissen wir auch seitdem 3 N + 2 ist von der Form 3 ⋅ ( eine ganze Zahl ) + 2 Es gibt mindestens einen Primfaktor von 3 N + 2 des Formulars 3 ⋅ ( eine ganze Zahl ) + 2 . Wir wissen auch, dass keine der Primzahlen P 1 P 2 , … , P R teilen 3 N + 2 denn wenn sie es täten, hätten wir eine Primzahl P ich in unserer Liste:

P ich ∣ ( 3 N + 2 ) ∧ P ich ∣ N ⟹ P ich ∣ 2 Was nicht passieren kann, da unsere Liste der Primzahlen ausschließt 2 . Damit haben wir die beiden widersprüchlichen Aussagen:

Es existiert ein Primfaktor der Form 3 k + 2 und es gibt keinen Primfaktor (aus unserer endlichen Liste P 1 , P 2 , … , P R ) des Formulars 3 k + 2 . Daher ist die Annahme falsch und es gibt unendlich viele Primzahlen mit Rest 2 wenn geteilt durch 3 .

Ist das richtig?

Sieht in Ordnung aus. Die einzige Stelle, an der Sie vielleicht etwas mehr Details einfügen möchten, ist die Aussage, dass eine Zahl des Formulars 3 k + 2 muss mindestens einen Primfaktor der gleichen Form haben.
Wäre die Intuition der Klarheit nicht die einzigen Möglichkeiten für Primfaktoren von 3 N + 2 Sind 3 k + 1 Und 3 k + 2 . Seit 3 N + 2 hat die + 2 wir brauchen ein 3 k + 2
Nein, du brauchst eine 3 k + 2 weil jedes Produkt von Zahlen der Form 3 k + 1 hat auch die form 3 k + 1 . Aber das ist eine Tatsache, die Sie wirklich begründen sollten.
Könntest du das mit dem, was ich geschrieben habe, näher erläutern? Mein Verständnis im Allgemeinen ist etwas von der Form 3 k + 2 hat nur Primfaktoren der Form 3 k + 1 Und 3 k + 2
Das stimmt, aber Sie brauchen mehr als das: Sie müssen zeigen, dass es mindestens einen Primfaktor der Form geben muss 3 k + 2 , dass sie nicht alle von der Form sein können 3 k + 1 . Um dies zu beweisen, zeigen Sie, dass das Produkt von Zahlen der Form 3 k + 1 ist auch formschön 3 k + 1 .
Natürlich muss noch etwas erklärt werden: warum sich der neue Primfaktor von unterscheidet 2 (nicht nur von der P ich ).

Antworten (1)

So wie Euklids Beweis fälschlicherweise (von Dirichlet, GH Hardy und anderen) als Widerspruchsbeweis bezeichnet wird, ist Ihr Beweis komplizierter als er sein muss. Anstatt anzunehmen, dass nur endlich viele existieren, sagen Sie einfach, dass Sie eine Menge von endlich vielen haben, und gehen Sie dann Ihr Argument durch, um zu zeigen, dass Sie es auf eine größere endliche Menge erweitern können.

Ansonsten finde ich dich ok.

Unendlich viele Primzahlen ≡2(mod3)≡2(mod3)\equiv 2 \pmod 3 beweisen Korrektheit
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