Wie kann man nach Wurzeln eines Polynoms aus einer bestimmten Zahl in einem bestimmten Bereich suchen?

Es ist bekannt, dass es möglich ist, zu bestimmen, ob einige Wurzeln eines Polynoms rational sind, indem man den rationalen Wurzelsatz verwendet . Es ist auch bekannt, dass der Satz von Sturm die Frage nach der Existenz von Wurzeln eines Polynoms in einem bestimmten Bereich leicht beantworten kann.

Unter Berücksichtigung dieser beiden Tatsachen gibt es dieses Fragenpaket, das die Frage im Titel aufschlüsselt:

  • Lässt sich feststellen, ob ein Polynom natürliche Wurzeln hat (z X Das X ∈ N )?
  • Kann man feststellen, ob ein Polynom ganzzahlige Wurzeln hat (z X Das X ∈ Z )?
  • Kann man feststellen, ob ein Polynom irrationale Wurzeln hat (z X Das X ∈ ICH )?
  • Kann man feststellen, ob ein Polynom reelle Wurzeln hat (z X Das X ∈ R )?
  • Stimmt es immer, dass jedes Polynom komplexe Nullstellen hat (z X Das X ∈ C )?
  • Können die obigen Fragen beantwortet werden, wenn es notwendig ist, auf solche Wurzeln in einer bestimmten Domäne zu testen (z. B. ganzzahlige Wurzeln innerhalb X ∈ ( 0 , 3 ) oder rationale Wurzeln im Inneren X ∈ ( − 5 , 8 ) , im Allgemeinen, Test auf Existenz von Wurzeln X ∈ A innen X ∈ ( X 1 , X 2 ) ), und wenn ja, welche davon können sein und wie?

Vielen Dank.

Zur fünften Frage: Ein nicht konstantes komplexes Polynom hat immer mindestens eine komplexe Nullstelle. Dies ist der Satz von D'Alembert-Gauß .
Um zu testen, ob ganzzahlige Wurzeln innerhalb eines kleinen Intervallbereichs vorhanden sind, könnten Sie einfach den Wert dieses Polynoms bei sehr ganzzahlig in diesem Bereich berechnen und sehen, ob Sie eine Null erhalten.
@Stef was betrachten wir als kleine Intervalldomäne? (0,1)? (0.(0)1,0.(0)2)?

Antworten (1)

Die Schritte zur Bestimmung der Art der Wurzeln (ohne Multiplizitäten) eines Polynoms P im Intervall ICH wäre folgendes.

  • Prüfen Sie, ob mehrere Wurzeln durch Rechnen vorhanden sind D = gcd ( P , P ' ) mit dem euklidischen Algorithmus . Wenn Grad ⁡ D > 0 dividiere durch den gemeinsamen Faktor P 1 = P / D , Dann P 1 wird die gleichen Wurzeln haben wie P aber jeder von ihnen mit einer Vielzahl 1 dh P 1 wird der quadratische freie Teil von sein P . Dieser Schritt kann möglicherweise den Grad von verringern P was spätere Berechnungen vereinfacht.

  • Verwenden Sie den Satz von Sturm , um die Zahl zu bestimmen N R von echten Wurzeln in ICH .

  • Nach dem Rationalwurzelsatz gibt es nur eine endliche Anzahl potentieller rationaler Wurzeln. Berechnen Sie den Wert des Polynoms für jeden Kandidatenbruchteil, der in das Intervall fällt ICH (wobei der Zähler den konstanten Term und der Nenner den führenden Koeffizienten teilt) und die Zahl bestimmen N Q rationaler Wurzeln. Die mit Nenner 1 sind die ganzzahligen Wurzeln, sagen wir N Z ≤ N Q von ihnen, und diejenigen, die auch positiv sind, sind die natürlichen Wurzeln N N .

  • Das Irrationale wurzelt in ICH sind diejenigen, die real, aber nicht rational sind, also N Q ¯ = N R − N Q .

Die offensichtlichen Beziehungen gelten N N ≤ N Z ≤ N Q ≤ N R = N Q + N Q ¯ ≤ Grad ⁡ P 1 ≤ Grad ⁡ P .

Die Gesamtzahl der Wurzeln (Multiplizitäten zählend) von P In C Ist N ∗ = Grad ⁡ P nach dem Fundamentalsatz der Algebra . Die Anzahl der echten Wurzeln N R ∗ (Zählmultiplizitäten) kann mit dem Satz von Sturm bestimmt werden ICH ≡ R , angewendet auf die endliche Folge quadratfreier Polynome P k mit Grad ⁡ P k > 0 definiert von D 1 = gcd ( P , P ' ) , P 1 = P / D 1 , D 2 = gcd ( D 1 , D 1 ' ) , P 2 = D 1 / D 2 , … und Addieren der Zählungen, dann ist die Anzahl der nicht-reellen komplexen Wurzeln (Zählmultiplizitäten). N C ∖ R ∗ = N ∗ − N R ∗ .

Lassen P ( X ) = ∑ J = 0 N A J X J mit N ≥ 2 Und A N ≠ 0. Lassen B = 1 + max J < N | A J / A N | . Es ist sehr einfach, das zu beweisen | X | ≥ B ⟹ | P ( X ) | ≥ | A N X N | − ∑ J = 0 N − 1 | A J X J | > 0 .
@DanielWainfleet Die Cauchy-Grenze und andere, auf die im Link verwiesen wird, sind in der Tat nützlich, wenn Sie die Bereiche (real oder komplex) eingrenzen, in denen nach potenziellen Wurzeln gesucht werden soll.
Ich wusste nicht, dass es die Cauchy-Bindung heißt. Ich habe es auch entdeckt (LOL) ... Manchmal ist eine lineare Änderung der Variablen nützlich, bevor die Cauchy-Grenze angewendet wird ... Ein Grenzfall ist X N 2 − N X N − N = 0 mit X N > 0. Wir haben X N − ( N + 1 ) → 0 als N → ∞ .
Wie kann man nach Wurzeln eines Polynoms aus einer bestimmten Zahl in einem bestimmten Bereich suchen?
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