Gibt es einen Beweis dafür, dass es nur 3 sogenannte "Neonzahlen" gibt?

Der Ausdruck "Neonzahl" wird manchmal für eine Zahl verwendet, bei der: Quadrieren Sie die Zahl, addieren Sie die Ziffern davon zur Basis 10, und Sie erhalten die ursprüngliche Zahl.

9 ist also eine Neonzahl (-> 81, 8+1, 9)

In der Tat wird normalerweise gesagt, dass es nur drei Neonzahlen gibt (0, 1 und 9).

Überraschenderweise konnte ich keinen Beweis dafür googeln. (Alle Zahlen bis zu einigen Milliarden wurden trivial getestet.)

Gibt es einen Beweis?

Und eckig, sind "Neonnummern" überhaupt von Wert oder Interesse, oder ist es nur eine skurrile Sache?

Ziemlich sicher, dass für jede Basis N , die Summe der Ziffern von ( N − 1 ) 2 in dieser Basis gleich N − 1 . Zum Beispiel in Basis 8 , 7 × 7 = 61 , und im Hexadezimalformat F × F = E 1

Antworten (1)

Angenommen, eine Zahl M hat N Ziffern. Dann M 2 hat höchstens 2 N Ziffern.
Die Quersumme von M 2 ist höchstens 9 × 2 N = 18 N .
Wenn die Quersumme von M 2 ist gleich M Dann 10 N − 1 ≤ M ≤ 18 N .
Dies gilt nur, wenn N < 3 , also können nur einstellige und zweistellige Zahlen möglicherweise Neonzahlen sein.

Sie können mit modularer Arithmetik beweisen, dass nur Zahlen der Form 9 k Und 9 k + 1 können Neonzahlen sein. Dies reduziert die Anzahl der positiven ganzen Zahlen, die wir überprüfen müssen.

BEARBEITEN
Wie @JBentley in den Kommentaren darauf hingewiesen hat 0 muss wegen der Ungleichheit gesondert betrachtet werden 10 N − 1 ≤ M hält nicht.

so nüchtern !!! Danke!
+1, obwohl Ihre Ungleichung den Fall nicht abdeckt, in dem m = 0 ist
@JBentley Es sei denn, Sie betrachten Null als Nullstellen. Informell ignorieren wir führende Nullen ( 1könnte geschrieben werden als 0001hat aber immer noch nur eine Ziffer; also 0 sollte es eine leere Zeichenfolge sein, aber dann würden wir es nicht sehen!) Formaler, wenn wir die Notation "Nachfolger von" verwenden, ist Null 0, Eins ist S0usw. und so wird "Anzahl der Stellen" zu "Anzahl von Ss".
@TripeHound, auch wenn wir akzeptieren, dass die Begründung der Ungleichung für den Fall, dass m = 0 und n = 0 ist, immer noch nicht funktioniert. Der richtige Ansatz besteht darin, den Fall für 0 einfach als Ausnahme anzugeben.
@JBentley Ja, du hast recht. Ich glaube, ich habe die Ungleichung fälschlicherweise als 0 <= 0 <= 18,0 für n = m = 0 "gesehen".
Hmm. Ist es aus Neugier etwas seltsam zu sagen: "Hier ist eine Gleichung, die etwas beweist. Oh, wir kennen eine Ausnahme." - ?
@fattie Exception war eine schlechte Wortwahl von mir. Vielmehr ist es ein Eckfall, der Teil des Beweises ist. Es hätte alternativ auch so lauten können: „Wenn die Quersumme von m^2 gleich m ist, dann ist entweder m=0 oder 10^n−1 ≤ m ≤18n.“
JBentley – gotchya, es macht Sinn!
Gibt es einen Beweis dafür, dass es nur 3 sogenannte "Neonzahlen" gibt?
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