Potenzen mit verschiedenen Basen ohne Logarithmen vergleichen

Question

Benutzer2161721

Ich möchte vergleichen:

$17^{31}$ Und $31^{17}$ , das ist eine Lösung

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

aber ich möchte einen anderen und ohne Logarithmen zu verwenden, nur mit der Tatsache, dass

$17=16+1=(2^4)+1$ Und $31=(2^5)-1$

wie könnte es gemacht werden?

Interessieren Sie sich für einen anderen Weg, der weder Logarithmen noch die Tatsache verwendet, dass Sie auferlegen?

Bitte Mann, mach weiter

Interessieren Sie sich für einen anderen Weg, der weder Logarithmen noch die Tatsache verwendet, dass Sie auferlegen?

wckrönholm · Answer 1

\begin{aligned} 17 & = 2^{4} + 1 \\ > 2^{4} \end{aligned}

$\begin{align}17 &= 2^4 +1\\ &> 2^4 \end{align}$ Somit

\begin{aligned} 17^{31} & > (2^{4})^{31} \\ = 2^{124} \end{aligned}

$\begin{align}17^{31} & > (2^4)^{31}\\ & = 2^{124} \end{align}$

In der Zwischenzeit,

\begin{aligned} 31 & = 2^{5} - 1 \\ < 2^{5} \end{aligned}

$\begin{align}31 &= 2^5 -1\\ &< 2^5 \end{align}$ und so,

\begin{aligned} 31^{17} & < (2^{5})^{17} \\ = 2^{85} \end{aligned}

$\begin{align}31^{17} &< (2^5)^{17}\\ &= 2^{85} \end{align}$

In Summe, $17^{31} > 2^{124} > 2^{85} > 31^{17}$ .