Berechne limn→∞n2+2n−−−−−−√−[n2+2n−−−−−−√]limn→∞n2+2n−[n2+2n]\lim_{n \to \infty} \sqrt {n^2+2n}-\left[\sqrt{n^2+2n}\right]

Question

Ekaveera Gouribhatla

Auswerten

lim_{N \to \infty} \sqrt{N^{2} + 2 N} - [\sqrt{N^{2} + 2 N}]

$\lim_{n \to \infty} \sqrt{n^2+2n}-\left[\sqrt{n^2+2n}\right]$

Wo $[.]$ ist Größte ganzzahlige Funktion

Mein Versuch:

Wir haben

L = lim_{N \to \infty} {\sqrt{N^{2} + 2 N}}

$L=\lim_{n \to \infty} \left\{\sqrt{n^2+2n} \right\}$ Wo

{.}

$\left\{.\right\}$ bezeichnet Bruchteil von

x

$x$

wir haben

L = lim_{N \to \infty} {N (\sqrt{1 + \frac{2}{N}})}

$L=\lim_{n \to \infty} \left\{n \left(\sqrt{1+\frac{2}{n}}\right)\right\}$

Jetzt haben wir

(\sqrt{1 + \frac{2}{N}}) = 1 + \frac{1}{N} - \frac{1}{2 N^{2}}

$\left(\sqrt{1+\frac{2}{n}}\right)=1+\frac{1}{n}-\frac{1}{2n^2}$

Somit

L = lim_{N \to \infty} {N + \frac{N}{N} - \frac{1}{2 N}}

$L=\lim_{n \to \infty} \left\{n+\frac{n}{n}-\frac{1}{2n}\right\}$ So

L = lim_{N \to \infty} 1 - \frac{1}{2 N} = 1

$L=\lim_{n \to \infty} 1-\frac{1}{2n}=1$

Ist das der richtige Ansatz?

DXT · Answer 1

N^{2} < N^{2} + 2 N < N^{2} + 2 N + 1

$n^2<n^2+2n<n^2+2n+1$

N < \sqrt{N^{2} + 2 N} < (N + 1)

$n<\sqrt{n^2+2n}<(n+1)$

So $\lfloor \sqrt{n^2+2n}\rfloor =n$

Also müssen wir rechnen

lim_{N \to \infty} (\sqrt{N^{2} + 2 N} - N)

$\lim_{n\rightarrow \infty}\bigg(\sqrt{n^2+2n}-n\bigg)$

Warum dieser Weg falsch ist: $\lfloor \sqrt{n^2+2n}\rfloor = x , \lim_{n \to \infty} \sqrt{n^2+2n}-\left[\sqrt{n^2+2n}\right] = \lim_{x \to \infty} x - \lfloor x \rfloor$ die Grenze existiert also nicht.
@SHW: Aus der Frage scheint das klar zu sein $n$ reicht über die positiven ganzen Zahlen, nicht über die positiven reellen Zahlen, und das ist in dieser Frage von Bedeutung. Ihr Kommentar setzt voraus $n$ reicht über die positiven Realzahlen.