So finden Sie limx→2|x−2|2x−x2limx→2|x−2|2x−x2\lim_{x\to 2}\frac{|x-2|}{2x-x^2}

Der beste Weg ist, die beiden Fälle getrennt zu betrachten

• $x>2$das ist$x \to 2^+$wir haben$|x-2|=x-2$und daher

• $x<2$das ist$x \to 2^-$wir haben$|x-2|=-x+2$und daher

Möglicherweise finden Sie es einfacher, mit der Substitution zu analysieren$u = x-2$. Dann wird es

$\lim_{u \rightarrow 0}\frac{|u|}{-u(u+2)}=\lim_{u \rightarrow 0}\frac{-1}{u+2}\frac{|u|}{u}=\left(\lim_{u \rightarrow 0}\frac{-1}{u+2}\right)\left( \lim_{u \rightarrow 0}\frac{|u|}{u}\right)=\frac {-1}2 \left(\lim_{u \rightarrow 0}\frac{|u|}{u}\right)$

$\frac{|u|}u$ist nur$sign(u)$: es ist$-1$für$u<0$Und$1$für$u>0$.

zuerst: wenn$f(x) = \frac{|x-2|}{2x-x^2}$Dann :$\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} \frac{x-2}{x\cdot (2-x)} = \lim_{x \to 2^+} -\frac{1}{x} = -\frac{1}{2}$Und$\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} \frac{2-x}{x\cdot (2-x)} = \lim_{x \to 2^-} \frac{1}{x} = \frac{1}{2}$aber von der Definition, die wir haben$\lim_{x \to 2} f(x) =l \Leftrightarrow \lim_{x \to 2^+} f(x) =\lim_{x \to 2^-} f(x) =l$Aber$\frac{1}{2} \neq -\frac{1}{2}$also Grenze von$f(x)$bei$x=2$ist nicht vorhanden.

Die stückweise Definition eines Moduls besagt, dass wann immer