Lösen eines Sequenzlimits mit Boden

Das wissen wir für alle$\alpha$,

$$\alpha-1<[\alpha]\leq \alpha$$ daher: $$\frac{nx-1}{n}<\frac{[nx]}{n}\leq\frac{nx}{n}$$ Jetzt drücken, um zu bekommen $$\lim_{n\to\infty}\frac{[nx]}{n}=x$$

Hinweis. Beachten Sie, dass$na-1<\lfloor na\rfloor \leq na$was das impliziert

$$a-\frac{1}{n}=\frac{na-1}{n}<\frac{\lfloor na\rfloor}{n} \leq \frac{na}{n}=a\implies \left|\frac{\lfloor na\rfloor}{n}-a\right|<\frac{1}{n}.$$

Seit$\forall n,a : na-1 < \lfloor na \rfloor\leq na$wir können schreiben

$$\lfloor na \rfloor na = na - \alpha(n,a)$$ mit $\forall a :0 \leq \alpha(n,a) < 1$. Jetzt bewerben $n(\epsilon)-\epsilon$Definition der Grenze: Nimm irgendein Gegebenes $\epsilon > 0$, und lass $n(\epsilon) = \frac2\epsilon$. Dann für alle $n > n(\epsilon)$, $$a - \frac{\lfloor na \rfloor}{n} = a - \frac{na - \alpha(n,a)}{n} = a - \left(a - \frac{- \alpha(n,a)}{n}\right) = \frac{ \alpha(n,a)}{n} < \frac{ \alpha(n,a)\epsilon}{2} < \epsilon$$ und auch $a - \frac{\lfloor na \rfloor}{n} \geq 0$So $$\left| a - \frac{\lfloor na \rfloor}{n} \right| < \epsilon$$ damit zeigt, dass die gewünschte Grenze ist $a$.