Finden Sie die Grenze mit der Etagenfolge oder beweisen Sie, dass sie nicht existiert

Question

Finden Sie die Grenze mit der Etagenfolge oder beweisen Sie, dass sie nicht existiert

Grenzen
Mathematik
Folgen-und-Serien
Decken-und-Boden-Funktionen

Grüne Banane

Ich muss die Grenzen dieser 2 Sequenzen finden oder beweisen, dass sie nicht existieren.

lim_{X \to \infty} (X - 5 ⌊ \frac{X}{5} ⌋)

$\lim_{x\to\infty}\left(x-5\left\lfloor\frac x5\right\rfloor\right)$

lim_{X \to \infty} \frac{X - 5 ⌊ \frac{X}{5} ⌋}{X}

$\lim_{x\to\infty}\frac{x-5\left\lfloor \frac x5\right\rfloor}x$ Aber ich weiß nicht, wie ich den Boden hier loswerden soll. Ich weiß, ich sollte diese Ungleichung irgendwie ausnutzen.

\frac{x}{5} - 1 \leq ⌊ \frac{x}{5} ⌋ \leq \frac{x}{5}

$\frac{x}{5} -1 \leq \left \lfloor \frac{x}{5} \right \rfloor \leq \frac{x}{5}$ Aber ich bin mir nicht sicher, wie ich es richtig machen soll. Und wie kann man in beliebiger Reihenfolge definieren, ob die Grenze existiert oder nicht? Danke schön!

Stranthrop

Hinweis: Der zweite Grenzwert existiert und ist gleich 0, der erste nicht. Um zu zeigen, dass ersteres nicht existiert, betrachte

x = 5 n

$x=5n$ Und

x = 5 n + 1

$x=5n+1$ für

n \in N

$n\in\mathbb N$ . Um zu zeigen, dass die Sekunde 0 ist, verwenden Sie Ihre Ungleichungen und schätzen Sie den Bruch von oben und unten. Dann lass

x \to \infty

$x\to\infty$ an diesen Grenzen.

Grüne Banane

Vielen Dank! Ich habe nur eine Frage zum 1. Wenn ich also x=5n betrachte, ist die Grenze der Folge in diesem Fall gleich 0. Und wenn ich x=5n+1 nehme, ist die Grenze gleich 1. Diese Grenzen sind also nicht gleich, und es beweist, dass die Grenze nicht existiert, richtig?

Stranthrop

Exakt. Gut gemacht :)

Antworten (1)

Finden Sie die Grenze mit der Etagenfolge oder beweisen Sie, dass sie nicht existiert

Hinweis: Der zweite Grenzwert existiert und ist gleich 0, der erste nicht. Um zu zeigen, dass ersteres nicht existiert, betrachte $x=5n$ Und $x=5n+1$ für $n\in\mathbb N$ . Um zu zeigen, dass die Sekunde 0 ist, verwenden Sie Ihre Ungleichungen und schätzen Sie den Bruch von oben und unten. Dann lass $x\to\infty$ an diesen Grenzen.
Vielen Dank! Ich habe nur eine Frage zum 1. Wenn ich also x=5n betrachte, ist die Grenze der Folge in diesem Fall gleich 0. Und wenn ich x=5n+1 nehme, ist die Grenze gleich 1. Diese Grenzen sind also nicht gleich, und es beweist, dass die Grenze nicht existiert, richtig?

epi163sqrt · Answer 1

Hier ist eine Antwort des ersten Teils. Wir verwenden den Bruchteil $\{x\}$ einer reellen Zahl $x$ .

{X} = X - ⌊ X ⌋ 0 \leq {X} < 1

$\{x\}=x-\lfloor x\rfloor\qquad\qquad 0\leq \{x\}<1$

Wir erhalten
$\begin{aligned} lim_{X \to \infty} (X - 5 ⌊ \frac{X}{5} ⌋) & = lim_{X \to \infty} (X - 5 (\frac{X}{5} - {\frac{X}{5}})) \\ = lim_{X \to \infty} (5 \cdot {\frac{X}{5}}) \\ (1) & = 5 \cdot lim_{X \to \infty} {\frac{X}{5}} ∄ \end{aligned}$ $\begin{align*} \lim_{x\to\infty}\left(x-5\left\lfloor\frac x5\right\rfloor\right) &=\lim_{x\to\infty}\left(x-5\left(\frac{x}{5}-\left\{\frac{x}{5}\right\}\right)\right)\\ &=\lim_{x\to\infty}\left(5\cdot\left\{\frac{x}{5}\right\}\right)\\ &=5\cdot\lim_{x\to\infty}\left\{\frac{x}{5}\right\}\quad\not\exists\tag{1}\\ \end{align*}$

Aus der Darstellung (1) sehen wir, die Werte schwingen ein $[0,5)$ Wenn $x$ steigt, so dass die Grenze nicht existiert. Mit anderen Worten: Da die Grenzen der Teilfolgen

\begin{aligned} 5 \cdot lim_{\binom{X \to \infty}{X \in 5 Z}} {\frac{X}{5}} = 0 Und 5 \cdot lim_{\binom{X \to \infty}{X \in \frac{5}{2} Z}} {\frac{X}{5}} = \frac{5}{2} \end{aligned}

$\begin{align*} 5\cdot\lim_{{x\to\infty}\atop{x\in 5\mathbb{Z}}}\left\{\frac{x}{5}\right\}=0 \qquad\qquad\text{and}\qquad\qquad 5\cdot\lim_{{x\to\infty}\atop{x\in \frac{5}{2}\mathbb{Z}}}\left\{\frac{x}{5}\right\}=\frac{5}{2}\\ \end{align*}$ unterschiedlich sind, existiert die Grenze (1) nicht.

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Stranthrop

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Stranthrop

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epi163sqrt

Lösen eines Sequenzlimits mit Boden

Limit mit Reihen und größter ganzzahliger Funktion

Zeigen Sie, dass die Folge nach unten beschränkt ist durch 2–√2{\sqrt 2}

Beweisen Sie, dass eine konvergente Folge entweder ein Minimum, ein Maximum oder beides hat.

Wie können wir Reihendarstellungen in Grenzwerten verwenden?

Konvergenz einer bestimmten unendlichen Reihe

Wenn lim|ak+1/ak|=1lim|ak+1/ak|=1\lim\left| a_{k+1}/a_k \right| =1 im Grenzverhältnistest, folgt daraus, dass die Reihe divergiert?

Grenzwert von an=13n+14n−−−−−−√nan=13n+14nna_n = \sqrt[n]{\frac{1}{3^n}+\frac{1}{4^n}}

Berechne limn→∞n2+2n−−−−−−√−[n2+2n−−−−−−√]limn→∞n2+2n−[n2+2n]\lim_{n \to \infty} \sqrt {n^2+2n}-\left[\sqrt{n^2+2n}\right]

Grenzwert limx→∞(∑∞n=1(xn)n)1/xlimx→∞(∑n=1∞(xn)n)1/x\lim_{x\to\infty}\left(\sum_{n =1}^{\infty}\left(\frac{x}{n}\right)^n \right)^{1/x}