Bereich des schattierten Bereichs in einem Quadrat

Mein Ansatz

Die Fläche des schattierten Bereichs = 8 × die Fläche von

Da die Punkte des schattierten Bereichs näher an der Mitte liegen als an der Begrenzung des Quadrats.

Lassen Sie uns über die Grenze des schattierten Bereichs sprechen

Die Grenze des schattierten Bereichs muss daher der Ort aller Punkte sein, deren Abstand von der Mitte des Quadrats = Abstand von der Grenze ist.

Lassen Sie uns den Ort der Grenze des schattierten Bereichs finden

Ab der zweiten Figur ${\sqrt {h^2+k^2} } = {\sqrt {(h-h)^2 + (k-{a\over 2})^2 }}$

Dies vereinfacht sich zu:

$k = {a^2 - 4h^2\over 4a}$

$y = {a^2 - 4x^2\over 4a}$

Auch die Kurve schneidet die Gerade (die Hypotenuse des Dreiecks) y= x

Zum Schnittpunkt:

${a^2 - 4x^2\over 4a} = x$

$4x^2 +4ax - a^2 = 0$ $x = {-4a ± \sqrt{16a^2 - 4×4×(-a^2)}\over 8}$ $x = a{(\sqrt{2} ± 1)\over 2}$

Lösung 1:$x = a{(\sqrt{2} + 1)\over 2}$

Lösung 2:$x = a{(\sqrt{2} - 1)\over 2}$

Lösung 1 kann wie verworfen werden$x = a{(\sqrt{2} + 1)\over 2} ≈ 1.207106 a > {a\over 2}$

Lösung 2:$a{(\sqrt{2} - 1)\over 2} ≈ 0.2071 a < {a\over 2}$

von 0 bis $a{(\sqrt{2} - 1)\over 2}$: Die Kurve (Grenze des schraffierten Bereichs) liegt oberhalb der Linie$y=x$

So$dA = ({a^2\over 4a} - {4x^2\over 4a} - x)dx$

$dA = ({a\over 4} - {x^2\over a} - x)dx$

$\int_{0}^{A} dA = \int_{0}^{a{(\sqrt{2} - 1)\over 2}} ({a^2\over 4a} - {4x^2\over 4a} - x)dx$

A =$({a\over 4}x - {x^3\over 3a} - {x^2\over 2})]_{0}^{{a{(\sqrt{2} - 1)\over 2}}}$

$A = {a^2\over 8}(\sqrt{2}-1) - {a^2\over 24}(\sqrt{2}-1)^3 - {a^2\over 8} (\sqrt{2}-1)^2$

$= {a^2\over 8}(\sqrt{2}-1) \Biggl( 1 - {(\sqrt{2}-1)^2\over 3} - (\sqrt{2} -1)\Biggr)$

Dies vereinfacht gleich sein ${a^2\over 8}(\sqrt{2}-1)({3+5\sqrt{2}\over 3})$

$= {(7- 2\sqrt{2})\over 8×3}a^2$

Bereich der schraffierten Figur = 8A

$A_{total}$=${(7- 2\sqrt{2})\over 3}a^2$

Aber die Antwort lautet:

${4\sqrt{2}-5\over 3}a^2$

Ich weiß nicht, wo ich es falsch gemacht habe, und ich habe dies auch neu berechnet und das Ergebnis ist dasselbe.

Habe ich etwas Wichtiges übersehen oder falsch gerechnet

Jede Hilfe von Hinweisen oder Vorschlägen oder ausgearbeiteten Lösungen wäre willkommen.