Allgemeine Definition der Fläche in der Infinitesimalrechnung

Die allgemeine Definition des Bereichs einer Teilmenge von$\mathbb{R}^n$ist als Lebesgue-Maß bekannt. Dieser Begriff ist ein ziemlich tiefgreifendes Konzept, das normalerweise in einem Analysekurs im zweiten Jahr eingeführt wird.

Dieses Lebesgue-Maß ist eine Funktion$\mathcal{L}^n : \mathcal{B} \subset \mathcal{P}(\mathbb{R}^n) \to [0, +\infty]$was einige Eigenschaften erfüllt. Dies ist die Definition von Bereich und in Ihrem speziellen Fall$n=2$Und$\mathcal{L}^2(A) = \int_A 1$. Das Letzte$2$Integrale sind nur ein Spezialfall für eine Menge der Ebene$\mathbb{R}^2$des Formulars$graph_{\leq}(f)=\{ (x,y) : x \in dom(f), 0 \leq y \leq f(x)\}$für$f: [a,b] \to [0, +\infty)$. Um das zu erhalten$\int_{graph_{\leq}(f)} 1 = \int_a^bf(x)dx$wir brauchen den Satz von Fubini-Tonelli.

Ich hoffe, das wird Ihnen helfen.

Obwohl die Antwort von Filippo Giovanni völlig richtig ist, ist sie wahrscheinlich ein bisschen hoch für jemanden, der einen Analysis-Kurs macht. Hier ist eine einfachere, wenn auch weniger allgemeine Betrachtungsweise.

Die alten Griechen hatten bereits eine Möglichkeit, einen allgemeinen Bereich zu definieren, der als Methode der Erschöpfung bezeichnet wurde. Die allgemeine Idee ist, die Figur zu nehmen, deren Fläche$A$Sie finden möchten, und schreiben Sie eine einfachere Figur mit bekannter Fläche ein$A_-$, und beschreibe eine einfachere Figur mit bekannter Fläche$A_+$. Der umschriebene Bereich ist garantiert größer als$A$, und die eingeschriebene Fläche ist garantiert kleiner als$A$, das ist,$A_-\leq A\leq A_+$. Wir haben also zumindest ein Intervall, in dem der eigentliche Bereich liegen muss.

Wenn Sie nun eine Folge solcher ein- und umschriebenen Bereiche finden, die beide zu demselben Bereich zusammenlaufen, sagt uns das Sandwich-Prinzip, dass dieser Bereich sein muss$A$. Archimedes tat dies, um die Fläche eines Kreises zu finden, wie folgt:

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c9/Archimedes_pi.svg/1280px-Archimedes_pi.svg.png

Er hat regelmäßige Polygone ein- und umschrieben, deren Flächen er kannte. Und er wusste, dass diese Bereiche mit zunehmender Anzahl von Scheitelpunkten zusammenlaufen würden$\pi r^2$(was an sich etwas ist, was bewiesen werden muss, aber es ist wahr)

Jetzt verwenden wir beim Integrieren in den Kalkül tatsächlich auch die Methode der Erschöpfung! Das Riemann-Integral einer Funktion kann durch Ober- und Untersumme definiert werden, wobei die Untersumme im Wesentlichen eine einbeschriebene Fläche aus Rechteckflächen und die Obersumme eine umschriebene Fläche aus ebenfalls Rechteckflächen ist (etwas zusätzliche Sorgfalt erforderlich). für negative Funktionen, aber Sie verstehen das Wesentliche). Wenn wir feinere obere und untere Summen bilden, konvergieren sie zu dem, was wir das Integral nennen, das dann die Fläche unter dem Graphen der Funktion ist.

Die anderen beiden Methoden zur Berechnung von Flächen mit Integralen werden irgendwann, wenn man sich in den Kaninchenbau ihrer tatsächlichen Definition vertieft, in gewisser Weise auf die Methode der Erschöpfung zurückgehen, aber auf andere Weise angewendet.

$$\begin{equation} A_1= \iint dy\ dx \end{equation}$$

Hier scheint die nicht spezifizierte Integrationsdomäne eine Lamina zu sein (nennen wir sie$L$) auf der$x$-$y$Ebene; als solche,$A_1$gibt die Fläche von an $L.$

Allgemeiner, wenn$f$ist die Funktion der Dichte (Masse pro Flächeneinheit).$L,$Dann

$$\begin{equation} A_2= \int f(x) \ dx = \int y \ dx \end{equation}$$

Hier scheint der nicht spezifizierte Integrationsbereich ein gerades Liniensegment auf der zu sein$x$-Achse; als solche,$A_2$gibt den vorzeichenbehafteten Bereich zwischen einem Intervall in der an$x$-Achse und die Kurve $y=f(x).$

$$\begin{equation} A_3 = \int x dy \end{equation}$$

$A_3,$Sobald das Integrationsintervall angegeben ist, wird der vorzeichenbehaftete Bereich zwischen diesem Intervall in angegeben$y$-Achse und die Kurve$x=f(y).$

Ebenso Ausdruck$(1)$oben kann als das signierte Volumen zwischen den Lamina interpretiert werden$L$und die Oberfläche $z=f(x,y).$Dies ist eine Alternative zur „Massen“-Interpretation.

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Sie stellen alle dasselbe dar: Wenn ich eine Kurve habe, stelle ich sie durch die Gleichung dar$y=f(x)$und ich möchte die Fläche unter dieser Kurve, zwischen der Sie integrieren$y=0$Und$y=f(x)$, dann zwischen was auch immer Ihre Grenzen sind$x$Achse also: