Wie berechnet man ∫arctanxx1+x2√exp(−arctanxx)dx∫arctan⁡xx1+x2exp⁡(−arctan⁡xx)dx\int \frac{\arctan x}{x\sqrt {1+x^2}}\ exp\left(-\frac{\arctan x}{x}\right)\,dx

Wir vermuten ein Primitiv der Form

$$\int\frac{t}{\sin t}e^{-t\cot t} dt = e^{-t\cot t}u$$ Wo $u$ist eine Funktion von $t$. Dann $$\begin{aligned} &t\csc t{e^{ - t\cot t}} = ({e^{ - t\cot t}}u)' = (t{\csc ^2}t - \cot t){e^{ - t\cot t}}u + {e^{ - t\cot t}}u'\\ &\iff t\csc t = (t{\csc ^2}t - \cot t)u + u'\\ &\iff t\sin t = (t - \cos t\sin t)u + u'{\sin ^2}t \end{aligned}$$

Das merkt man sofort$u=\sin t$ist eine Lösung.

Somit

$$\int {\frac{t}{{\sin t}}{e^{ - t\cot t}}dt} = {e^{ - t\cot t}}\sin t + C$$