Berechnen Sie das folgende Integral limx→01x∫x0sin2(1u)dulimx→01x∫0xsin2⁡(1u)du\lim\limits_{x\to 0}\frac{1}{x}\int_{0}^{x}\ sin^{2}\left(\frac{1}{u}\right)du

Ändern Sie für den schwierigen Teil die Variablen mit$t = 2/u, \, du = (-2/t^2) dt$und durch Teile zu integrieren, um zu bekommen

$$\frac{1}{2x}\int_0^x \cos(2/u) \, du = \frac{1}{x}\int_{2/x}^\infty \frac{\cos t}{t^2} \, dt \\ = -\frac{x\sin(2/x)}{4} + \frac{2}{x}\int_{2/x}^\infty\frac{\sin t}{t^3} \, dt \\ $$

Jetzt können Sie das Limit als nehmen$x \to 0$verwenden

$$\left|\frac{1}{x}\int_{2/x}^\infty\frac{\sin t}{t^3} \, dt\right| \leqslant \frac{1}{x}\int_{2/x}^\infty\frac{1}{t^3} = \frac{x}{8}$$

Zeigt das

$$\lim_{x \to 0} \frac{1}{2x}\int_0^x \cos(2/u) \, du = 0$$

Sie sind auf dem richtigen Weg. Und die Herausforderung besteht darin, zu bewerten

$$\lim_{x\to 0}\frac{1}{x}\int_{0}^{x}\cos(2/t)\,dt\tag{1}$$ Lassen $f(x) =\cos(2/x),x\neq 0,f(0)=0$und dann kann die obige Grenze geschrieben werden als $F'(0)$Wo $F(x) =\int_{0}^{x}f(t)\,dt$. Betrachten Sie als nächstes die Ableitungsbewertung $$\frac{d} {dx} (x^2\sin(2/x))=2x\sin(2/x)-2\cos(2/x)\tag{2}$$ also wenn $G(x) =x^2\sin(2/x),x\neq 0, G(0)=0$Und $g(x) =2x\sin(2/x),x\neq 0,g(0)=0$dann Gleichung $(2)$kann geschrieben werden als $$G'(x) =g(x) - 2f(x),\forall x\in\mathbb {R} \tag{3}$$ (Überprüfen Sie, ob das obige gilt für $x=0$Auch). Seit $f, g$sind Riemann integrierbar folgt daraus $G'$ist auch Riemann integrierbar und $$G(x)=G(x) - G(0)=\int_{0}^{x}G'(t)\,dt\\=\int_{0}^{x}g(t)\,dt-2\int_{0}^{x}f(t)\,dt=\int_{0}^{x}g(t)\,dt-2F(x)\tag{4}$$ Daraus folgt durch Differenzieren der obigen Gleichung, dass $$G'(x) =g(x) - 2F'(x)$$ (beachten Sie, dass $g$ist überall stetig) und daher $F'(0)=(g(0)-G'(0))/2=0$.