Warum ergibt die Multiplikation von 142857 mit 2,3,4,5,6 dieselben verschobenen Ziffern?

Nun, das kann man sich merken$142857$ist dabei eine etwas besondere Zahl$\frac{1}{7}=0.\overline{142857}$, was bedeutet, dass man durch lange Division erhält$\overline{142857}=142857142857142857...$ad infinitum über den folgenden Algorithmus:

Beginnen mit$1$.

$1=\color{green}{0}\times7+\color{red}{1}$So$\frac{1}{7}=0.\text{something}$

Um dieses Etwas zu erhalten, tun Sie Folgendes:

$\color{red}{1}\times10 = 10 = \color{green}{1}\times7+\color{red}{3}$(*)

$\color{red}{3}\times10 = 30 = \color{green}{4}\times7+\color{red}{2}$(**)

$\color{red}{2}\times10 = 20 = \color{green}{2}\times7+\color{red}{6}$

$\color{red}{6}\times10 = 60 = \color{green}{8}\times7+\color{red}{4}$

$\color{red}{4}\times10 = 40 = \color{green}{5}\times7+\color{red}{5}$

$\color{red}{5}\times10 = 50 = \color{green}{7}\times7+\color{red}{1}$

Nun ist der Rest$\color{red}{1}$, womit wir bei Gleichung (*) begonnen haben, also haben wir jetzt eine Schleife, die nachgibt$\frac{1}{7}=0.\color{green}{\overline{142857}}$. Im gruppentheoretischen Sprachgebrauch die Tatsache, dass sich die Schleife danach schließt$6$Iterationen bedeutet das$10$hat Ordnung$6$In$(\mathbb{Z}/7\mathbb{Z})^*$, dh$10^6\equiv1 \pmod{7}$Und$10^k\neq1\pmod7$für$1 \leq k \leq 5$.

Verstehen, warum die Ziffern verschoben werden, wenn zB mit multipliziert wird$3$, beachten Sie nur das Multiplizieren$\frac{1}{7}$von$3$bedeutet abwägen$\frac{3}{7}$anstatt$\frac{1}{7}$, und so würde der Algorithmus bei Gleichung (**) anstelle von (*) beginnen und somit nachgeben$\color{green}{\overline{428571}}$anstatt$\color{green}{\overline{142857}}$.

So$\frac{3}{7}=\frac{3\times 142857}{999999} = \frac{428571}{999999} \Rightarrow 3\times142857 = 428571$

Das erklärt die Verschiebung.

Gute Frage!

Mal sehen, ob wir es rauskriegen.

$\frac {1,000,000 -1}7 = 142857$.

Und$2\times \frac {1,000,000 -1}7 =$was ... jetzt weisen Sie darauf hin$100 = 7k + 2$Wo$7 =14$So$2 = 100-7k$

$2\times \frac {100,000 - 1}7= (100-7k)\frac {1,000,000-1}7 =$

$100\frac {1,000,000 - 1}7 - k(1,000,000 -1) =$

$14,285,700 - \overline{k000000} +k$.

Hmm .... das wissen wir $k = 14$scheint ein wirklich schöner Zufall zu sein.

$14,285,700 - 14,000,000 + 14 = 285714$und natürlich sind die Nummern vertauscht.

Wenn wir davon ausgehen können, dass wenn$10^{m_j} = (\text{first }m_j\text{ digits of }142857)\times 7 + j$für$j=2,3,4,5,6$Wir wären fertig.

Immerhin hätten wir dann

$j \times 142,857=$

$(10^{m_j} - (\text{first }m_j\text{ digits of }142857)7)\frac {1,000,000-1}7 =$

$10^{m-j}142,857 - (\text{first }m_j\text{ digits of }142857)7)1,000,000 + (\text{first }m_j\text{ digits of }142857)7)=$

$[\overline{(\text{first }m_j\text{ digits of }142857)(\text{last }6-m_j\text{ digits of }142857)\underbrace{0...0}_{m-j}}]- [\overline{(\text{first }m_j\text{ digits of }142857)000000}]+(\text{first }m_j\text{ digits of }142857)=$

$\overline{(\text{last }6-m_j\text{ digits of }142857)(\text{first }m_j\text{ digits of }142857)}$

......

Wie können wir das also allen zeigen?$m_j \le 6$Das$10^{m_j} = (\text{first }m_j\text{ digits of }142857)\times 7 + j$

Also.....

Wir wissen das$\frac {1,000,000 -1}7 = 142,857$.

Das heisst$\frac 17= \frac 1{1000000}\frac {1000000}7 = \frac 1{1000000}[142,857 + \frac 17]$. Das bedeutet$\frac 17 = 0.142857\overline{142,857}$.

Okay....

Also, wenn wir multiplizieren$\frac 17$mal$10^{m_j}$wir bekommen$10^{m_j}\frac 17 = (\text{first }m_j\text{ digits of }142857) + (\text{some decimal part less than } 1)$.

So$10^{m_j} = 7 \times (\text{first }m_j\text{ digits of }142857) + 7\times(\text{some decimal part less than } 1)=$

$7 \times (\text{first }m_j\text{ digits of }142857) + (\text{some value less than } 7)$

aber$10^{m_j}$ist eine natürliche Zahl (nicht teilbar durch$7$) wir haben

$10^{m_j} = 7 \times (\text{first }m_j\text{ digits of }142857) +j$für einige$1 \le j \le 7$

Und das ist es.

Dies wird eigentlich für jeden gelten$n$so dass$\gcd(n,10) = 1$

Nimm, sag$\frac 1{17}= 0.\overline{0588235294117647}$

Wir sollten bekommen$0588235294117647 \times 2..... 16$sollten die gleichen Ziffern verschoben werden. Versuch es.