Zum Beweis, dass drei komplexe Punkte ein gleichseitiges Dreieck bilden

Der Autor wollte zeigen, dass der Ausdruck

Nehmen wir zunächst die Übersetzungsinvariante . Das bedeutet, wenn wir jeden Punkt in der komplexen Ebene um einen festen Vektor verschieben$\zeta$, dann ändert sich auch der Ausdruck (oben angegeben) nicht. Das bedeutet wenn$z_i \mapsto z_i+\zeta$und so weiter, dann auch$\eqref{one}$wird sich nicht ändern. So$\zeta$kann jede (feste) komplexe Zahl sein. Und$((z_j\,+\,\zeta )\,-\,(z_k\,+\,\zeta ))^2\,=\,(z_j\,-\,z_k)^2$ist für Translationsinvarianz, nicht für Rotation.

Für die Rotationsinvarianz wollen wir sehen, was passiert, wenn wir jeden Punkt nach innen drehen$\Bbb{C}$um einen Winkel$\theta$im Gegenuhrzeigersinn, dh was passiert, wenn wir$z_k \mapsto z_k \cdot e^{i \theta}$(Beachten Sie, dass die Multiplikation mit$e^{i \theta}$verursacht den Vektor dargestellt durch$z_k$um einen Winkel gedreht werden$\theta$). Wie vom Autor gezeigt$(z_je^{i\theta}\,-\,z_ke^{i\theta})^2\,=\,e^{i2\theta}(z_j\,-\,z_k)^2$, also jedes Term in$\eqref{one}$wird den gleichen Faktor haben$e^{2i\theta}$es wird also aufgehoben und daher ist der Ausdruck auch unter Rotation unveränderlich.

Sobald wir festgestellt haben, dass der Ausdruck$\eqref{one}$sowohl unter Rotation als auch unter Translation unveränderlich ist, dann können wir ohne Verlust der Allgemeingültigkeit mit Werten von arbeiten$z_1,z_2,z_3$das befriedigt$\eqref{one}$sondern sind auch bequem zu bedienen. Damit hat der Autor entschieden$z_1=0$Und$z_2$auf der positiven reellen Achse zu sein (weil wir das Segment verschieben und drehen können$z_1z_2$so dass$z_1$kommt zum Ursprung und$z_2$kann auf der positiven reellen Achse liegen und dennoch unser Ausdruck sein$\eqref{one}$bleibt erhalten). Mit$z_1=0$Und$z_2=\xi >0$wir können finden$z_3$durch Lösen der Quadrate$z_3^2-z_3\xi+\xi^2=0$. Daraus bekommen wir$z_3=\xi e^{i\frac{\pm\pi}{3}}$(Hinweis: Dies dreht sich einfach$z_2=\xi$von$60^{\circ}$entweder im Uhrzeigersinn oder gegen den Uhrzeigersinn).

Jetzt erkennen Sie, dass diese Punkte die Eckpunkte eines gleichseitigen Dreiecks sind, dann ist das unser General$z_1,z_2,z_3$das befriedigt$\eqref{one}$wird auch ein gleichseitiges Dreieck bilden.