Verwendung des Fundamentalsatzes der Algebra, um z0z0z_0 zu finden, so dass |p(z0)|<|p(0)||p(z0)|<|p(0)||p(z_0)| < |p(0)|

Eine Frage aus dem Buch Hubbard's Vector Calculus, Linear Algebra, and Differential Forms: A Unified Approach (5. Auflage):

Ich konnte leicht einen Punkt finden$z_0 = i/3$(nur durch Ausprobieren von Punkten), bin mir aber nicht sicher, wie ich ihre Gleichung in ihrem Beweis verwenden soll, um diesen Punkt zu finden.

Betrachten Sie das Polynom$p(z) = z^8 + z^4 + z^2 + 1$Wo$z \in \mathbb{C}$, verwenden Sie die Konstruktion im Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra, indem Sie Gleichung 1.6.28 verwenden , um einen Punkt zu finden$z_0$so dass$|p(z_0)| < |p(0)| = 1$.

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Hier ist eine grobe Vorstellung davon, wie sie den Fundamentalsatz der Algebra in ihrem Buch beweisen:

Zuerst zeigten sie dies für jedes monische Polynom des Grades$k > 0$mit komplexen Koeffizienten$p(z) = z^k + a_{k-1} z^{k-1} + \dots + a_0$, Das$|p(z)|$hat immer ein globales Minimum bei$z_0 \in \mathbb{C}$für einige$R>0$mit$|z_0| \leq R$.

Danach zu zeigen$p(z_0) = 0$, nehmen sie stattdessen an$p(z_0) \neq 0$einen Punkt zu finden$z$so dass$|p(z)| < |p(z_0)|$, was zu einem Widerspruch führen würde.

Dazu lassen sie$z = z_0 + u$so dass:

$$\begin{align} p(z) &= (z_0 + u)^k + a_{k-1} (z_0 + u)^{k-1} + \dots + a_0 \\ &= u^k + b_{k-1}u^{k-1} + \dots + b_0 \\ &= q(u) \end{align}$$

wo es angezeigt werden kann$b_0 = z_0^k + a_{k-1}z_0^{k-1} + \dots + a_0 = p(z_0) \neq 0$

Wenn wir lassen$j>0$sei die kleinste Potenz von$q(u)$mit einem Koeffizienten ungleich Null, dann haben wir Gleichung 1.6.28 :

$$\boxed{ q(u) = b_0 + b_j u^j + (b_{j+1} u^{j+1} + \dots + u^k) = p(z) = p(z_0 + u)}$$

Beachten$u$kann geschrieben werden als$\rho e^{i\theta}$, kann man sich vorstellen$b_0 + b_j u^j$reist um einen Kreis mit Mittelpunkt$b_0 = p(z_0)$. Es kann dann gezeigt werden, dass a existiert$\rho$(Ich gehe hier nicht auf seinen Wert ein) so dass$|b_j|\rho^j < |b_0|$, so dass für einige Werte von$\theta$wir haben$|b_0 + b_j u^j| < |b_0|$(dh visuell wird es ein Punkt auf dem Liniensegment dazwischen sein$0$Und$b_0$) Und$|b_{j+1} u^{j+1} + \dots + u^k| < |b_j|\rho^j$(der Abstand zwischen den Punkten$b_0 + b_ju^j$Und$b_0$). Dies führt zum Widerspruch$|p(z)| = |p(z_0 + u)| < |b_0| = |p(z_0)|$, seit$|p(z_0)|$das Minimum des Polynommoduls ist$p$.

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Ich habe den Beweis detailliert beschrieben, falls er benötigt wird (wenn Sie glauben, dass ich etwas aus dem Buch ausgelassen habe, lassen Sie es mich wissen), aber jetzt bin ich mir nicht sicher, wie ich die Gleichung 1.6.28 (eingerahmte Gleichung oben) in ihrem Beweis verwenden soll, um diesen Punkt zu finden$z_0$. Alle mögliche Hinweise oder Ideen würden sehr geschätzt.