Das Kreuzverhältnis von vier Punkten ist genau dann eine reelle Zahl, wenn die vier Punkte auf einer Linie oder einem Kreis liegen

Lassen z , z 2 , z 3 , z 4 vier Punkte auf der erweiterten Ebene sein. Ihr Kreuzverhältnis ( z , z 2 , z 3 , z 4 ) per Definition ist das Bild T z von z unter der Möbius-Transformation T das sendet z 2 , z 3 , z 4 Zu 0 , 1 , ∞ bzw.

Laut L. Ahlfors on Complex Analysis, 3rd edition, page 79, genügt es zu zeigen, dass „das Bild der reellen Achse unter jeder [Möbius-Transformation] ist entweder ein Kreis oder eine gerade Linie." Er sagt, das sei seitdem offensichtlich T z = ( z , z 2 , z 3 , z 4 ) ist genau dann real, wenn es sich auf dem Bild der realen Linie unter der Transformation befindet T − 1 was auch eine Möbius-Transformation ist.

Er sagt in seinem Buch, dass „in der Tat, T z = ( z , z 2 , z 3 , z 4 ) ist auf dem Bild der reellen Achse unter der Transformation reell T − 1 und nirgendwo sonst." Wie folgt der Satz?

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Jede Möbius-Transformation ist ein Automorphismus der erweiterten Ebene. So T z ∈ R ∪ { ∞ } dann und nur dann, wenn z ∈ T − 1 ( R ∪ { ∞ } ) . Da Möbius-Transformationen Kreise (in der erweiterten Ebene) auf Kreise abbilden, heißt das z liegt auf einem durchlaufenden Kreis z 1 , z 2 , z 3 . Aber durch beliebige drei Punkte in der erweiterten Ebene geht nur ein Kreis, also

T z ∈ R ∪ { ∞ } ⟺ z  liegt auf dem einmaligen Durchgangskreis  z 1 , z 2 , z 3 .

In der Tat, wenn T − 1 z real ist, liegt es auf dem durchlaufenden Kreis z 1 , z 2 , z 3 , seit T − 1 z ich sind auch reell, also liegen sie auf dem Kreis (Linie) wie T − 1 z .
Das Kreuzverhältnis von vier Punkten ist genau dann eine reelle Zahl, wenn die vier Punkte auf einer Linie oder einem Kreis liegen
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