Urbild von Scheiben unter einem komplexen Polynom

Lassen$\zeta_1, \dots, \zeta_n$seien die Wurzeln von$p$(nicht unbedingt unterschiedlich). Lassen$R$groß genug sein, dass alle Segmente$[\zeta_i, \zeta_j]$unterschiedliche Wurzeln verbinden$\zeta_i \ne \zeta_j$darin enthalten sind$U_R$.

Das behaupte ich$U_R$ist verbunden und einfach verbunden.

1)$U_R$Ist verbunden:

Vermutlich nicht. Dann (nach Wahl von$R$) alle Wurzeln liegen in einer Komponente von$U_R$. Lassen$V$eine andere Komponente sein. Wir haben$|p(z)| > 0$für alle$z \in V$Und$\overline V$ist beschränkt, also kompakt. Deshalb$p$nimmt ein Minimum an$\overline V$.

An der Grenze$\partial V$wir haben$|p(z)|\ge R$, also muss das Minimum drin liegen$V$. Da dieses Minimum unbedingt größer als sein muss$0$nach unserer Wahl von$V$, ist dies ein Widerspruch zum Maximum-Modulus-Theorem ($p$ist nicht konstant).

Dies beweist das$U_R$angeschlossen werden müssen.

2)$U_R$ist einfach verbunden:

Angenommen, dies wäre nicht der Fall. Dann hat das Komplement eine beschränkte Komponente$A$. Seit$A$ist geschlossen,$|p(z)|$nimmt irgendwann ein Maximum an$z_0\in A$. Wählen Sie nun einen offenen Ball$B$um$z_0$die sich nur schneidet$A$und möglicherweise$U_R$(Ein solcher Ball existiert, weil das Komplement$\mathbb C\setminus U_R$von$U_R$ist geschlossen u$A$ist disjunkt vom Rest von$\mathbb C\setminus U_R$).

Aber jetzt$|p(z)|<R\le |p(z_0)|$An$B\cap U_R$Und$|p(z)|\le |p(z_0)|$An$B\cap A$nach Wahl von$z_0$.

Dies widerspricht wiederum dem Maximum-Modulus-Theorem, da$p$ist nicht konstant.

Dies beweist die Behauptung.

Das zeigt die Behauptung zusammen mit dem Abbildungssatz von Riemann$U_R$ist homöomorph zur Einheitsscheibe.