Jede Linie oder jeder Kreis in CC\mathbb{C} sind Lösungsmengen der Gleichung...

Question

Jede Linie oder jeder Kreis in CC\mathbb{C} sind Lösungsmengen der Gleichung...

Mathematik
komplexe Zahlen
komplexe Analyse

Strahl B.

Hier ist eine komplexe Analyse-Hausaufgabe, die ich nicht ganz lösen kann:

Beweisen Sie, dass jede Linie oder jeder Kreis darin ist $\mathbb{C}$ ist die Lösungsmenge einer Gleichung der Form $a|z|^2+\bar{w}z+w\bar{z}+b=0$ , Wo $a,b\in\mathbb{R}$ Und $w,z\in\mathbb{C}$ . Zeige umgekehrt, dass jede Gleichung dieser Form eine Linie, einen Kreis, einen Punkt oder die leere Menge als Lösungsmenge hat.

Bisher habe ich versucht, die Gleichung einer Linie in umzuschreiben $\mathbb{R}^2$ als $y=mx+b$ In $\mathbb{C}$ , Wo $m$ ist echt und $x,b$ sind komplex. Ich weiß, dass ein Kreis in der komplexen Ebene gegeben ist durch $|z-a|=r$ , Wo $a$ ist das Zentrum und $r$ ist der Radius.

Das ist mir auch aufgefallen $\bar{w}z+w\bar{z}=2\text{Re}(\bar{w}z)$ . Ich bin mir nur nicht sicher, wie all diese Teile bei der Beantwortung der Frage zusammenpassen. Jede Hilfe wäre sehr willkommen.

Daniel Fischer

Schreiben Sie die Kreisgleichung als

| z - a |^{2} = r^{2}

$\lvert z-a\rvert^2 = r^2$ . Und schreiben Sie die Gleichung der Linie als

r x + s y = t

$rx + sy = t$ .

Strahl B.

@DanielFischer Okay. Ich bin mir immer noch nicht sicher, wohin es von hier aus gehen soll. Nach Prüfung der Gleichung

a | z |^{2} + \bar{w} z + w \bar{z} + b = 0

$a|z|^2+\bar{w}z+w\bar{z}+b=0$ , bemerkte ich, dass sich alles auf reelle Zahlen reduziert. Wie könnte die Gleichung einer Linie oder eines Kreises, die komplexe Zahlen beinhaltet, die Lösungsmenge einer reellwertigen Gleichung sein?

Daniel Fischer

Im Allgemeinen entspricht jede komplexe Gleichung zwei reellen Gleichungen. Hier haben wir die Situation, dass eine der beiden reellen Gleichungen trivial ist (

0 = 0

$0 = 0$ ), da die komplexe Gleichung unter Konjugation invariant ist. Durch Einsetzen können Sie zwischen der reellen und der komplexen Form der Gleichung wechseln

z = x + i y

$z = x+iy$ (Und

w = u + i v

$w = u+iv$ ), bzw.

x = \frac{1}{2} (z + \bar{z}), y = \frac{1}{2 i} (z - \bar{z})

$x = \frac{1}{2}(z+\overline{z}),\; y = \frac{1}{2i}(z-\overline{z})$ . Wenn Sie die Gleichung nehmen

| z - m |^{2} = r^{2}

$\lvert z-m\rvert^2 = r^2$ eines Kreises mit Mittelpunkt

m

$m$ und Radius

r

$r$ , sehen Sie, wie man das in eine Gleichung der gegebenen Form umwandelt?

Antworten (3)

Jede Linie oder jeder Kreis in CC\mathbb{C} sind Lösungsmengen der Gleichung...

Schreiben Sie die Kreisgleichung als $\lvert z-a\rvert^2 = r^2$ . Und schreiben Sie die Gleichung der Linie als $rx + sy = t$ .
@DanielFischer Okay. Ich bin mir immer noch nicht sicher, wohin es von hier aus gehen soll. Nach Prüfung der Gleichung $a|z|^2+\bar{w}z+w\bar{z}+b=0$ , bemerkte ich, dass sich alles auf reelle Zahlen reduziert. Wie könnte die Gleichung einer Linie oder eines Kreises, die komplexe Zahlen beinhaltet, die Lösungsmenge einer reellwertigen Gleichung sein?
Im Allgemeinen entspricht jede komplexe Gleichung zwei reellen Gleichungen. Hier haben wir die Situation, dass eine der beiden reellen Gleichungen trivial ist ( $0 = 0$ ), da die komplexe Gleichung unter Konjugation invariant ist. Durch Einsetzen können Sie zwischen der reellen und der komplexen Form der Gleichung wechseln $z = x+iy$ (Und $w = u+iv$ ), bzw. $x = \frac{1}{2}(z+\overline{z}),\; y = \frac{1}{2i}(z-\overline{z})$ . Wenn Sie die Gleichung nehmen $\lvert z-m\rvert^2 = r^2$ eines Kreises mit Mittelpunkt $m$ und Radius $r$ , sehen Sie, wie man das in eine Gleichung der gegebenen Form umwandelt?

Wladimir · Answer 1

Sie müssen die Eigenschaft der komplexen Konjugation verwenden, um die Kreisgleichung auszudrücken

\begin{aligned} | z - z_{0} |^{2} & = R^{2} \Leftrightarrow \bar{(z - z_{0})} (z - z_{0}) = R^{2} \Leftrightarrow (\bar{z} - \bar{z_{0}}) (z - z_{0}) = R^{2} \Leftrightarrow \\ z \bar{z} - \bar{z} z_{0} - z \bar{z_{0}} + | z_{0} |^{2} = R^{2} \end{aligned}

$\begin{align} |z - z_0|^2 &= r^2 \Leftrightarrow \overline{(z - z_0)}(z-z_0) = r^2 \Leftrightarrow (\overline{z} - \overline{z_0})(z - z_0) = r^2 \Leftrightarrow \\ & z\overline{z} - \overline{z}z_0 - z\overline{z_0} + |z_0|^2 = r^2 \end{align}$

Nehmen Sie nun die Substitution vor $z_0 = -\frac{\overline{\alpha}}{A}$ Wo $A \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$

z \bar{z} + \bar{z} \frac{\bar{a}}{A} + z \frac{a}{A} + {| \frac{\bar{a}}{A} |}^{2} - R^{2} = 0

$z\overline{z} + \overline{z}\frac{\overline{\alpha}}{A} + z\frac{\alpha}{A} + \left|\frac{\overline{\alpha}}{A}\right|^2 - r^2 = 0$

Multiplikation der Gleichung mit $A$

A z \bar{z} + \bar{z a} + z a + A ({| \frac{a}{A} |}^{2} - R^{2}) = 0

$Az\overline{z} + \overline{z\alpha} + z\alpha + A\left(\left|\frac{\alpha}{A}\right|^2 - r^2\right) = 0$

Und Einstellung $B = A\left(\left|\frac{\alpha}{A}\right|^2 - r^2\right)$ ergibt die allgemeine Form der Gleichung für einen Kreis in der komplexen Ebene. Diese Gleichung beschreibt auch Linien, die als Kreise mit unendlichem Radius angesehen werden können.

A z \bar{z} + \bar{z a} + z a + B = 0

$Az\overline{z} + \overline{z\alpha} + z\alpha + B = 0$

Wenn $A = 0$ es stellt eine Linie dar,

\bar{z a} + z a + B = 0

$\overline{z\alpha} + z\alpha + B = 0$

Sie können sich davon überzeugen, dass diese Gleichung eine Linie durch Einstellung beschreibt $z = x + iy$ Und $\alpha = p + iq$ .

Ei · Answer 2

Eine Linie oder ein Kreis in der Ebene hat eine Gleichung der Form

D (X^{2} + j^{2}) + A X + B j + C = 0.

$D(x^2+y^2)+Ax+By+C=0.$ Es ist eine Zeile, wenn

D = 0

$D=0$ , Aber

A

$A$ Und

B

$B$ sind nicht beide Null; es ist ein Kreis, wenn

D \neq 0

$D\ne0$ Und

A^{2} + B^{2} - 4 C D^{2} > 0

$A^2+B^2-4CD^2>0$ . Die obige Gleichung stellt also entweder eine Linie oder einen Kreis dar, wenn

A^{2} + B^{2} - 4 C D^{2} > 0

$A^2+B^2-4CD^2>0$ . Die Gleichung stellt einen einzelnen Punkt dar, wenn

A^{2} + B^{2} - 4 C D^{2} = 0

$A^2+B^2-4CD^2=0$ Aber

A

$A$ Und

B

$B$ sind nicht beide null (so

D \neq 0

$D\ne0$ ). Es stellt die leere Menge dar, wenn

A^{2} + B^{2} - 4 C D^{2} < 0

$A^2+B^2-4CD^2<0$ . (Ich gehe davon aus, dass nicht alle Koeffizienten Null sind.)

Satz $z=x+iy$ ; Dann

X = \frac{z + \bar{z}}{2}, j = \frac{z - \bar{z}}{2 ich} = - ich \frac{z - \bar{z}}{2}, X^{2} + j^{2} = z \bar{z} .

$x=\frac{z+\bar{z}}{2},\quad y=\frac{z-\bar{z}}{2i}=-i\frac{z-\bar{z}}{2},\quad x^2+y^2=z\bar{z}.$ Durch Einsetzen in die obige Gleichung erhalten wir

2 D z \bar{z} + A (z + \bar{z} - ich B (z - \bar{z}) + 2 C = 0

$2Dz\bar{z}+A(z+\bar{z}-iB(z-\bar{z})+2C=0$ oder

2 D z \bar{z} + (A - ich B) z + (A + ich B) \bar{z} + 2 C = 0.

$2Dz\bar{z}+(A-iB)z+(A+iB)\bar{z}+2C=0.$ Einstellung

2 D = a

$2D=a$ ,

A + i B = w

$A+iB=w$ Und

2 C = b

$2C=b$ Wir erhalten das gewünschte Formular.

Das Gegenteil macht nur die umgekehrte Substitution: set $D=a/2$ , $C=b/2$ , $A=(w+\bar{w})/2$ Und $B=(w-\bar{w})/(2i)$ . Auch $A^2+B^2=w\bar{w}$ .

Die Bedingung für eine Linie/einen Kreis lautet

w \bar{w} - 4 \frac{B}{2} \frac{A^{2}}{4} > 0

$w\bar{w}-4\frac{b}{2}\frac{a^2}{4}>0$ oder

2 w \bar{w} - A^{2} B > 0.

$2w\bar{w}-a^2b>0.$ Einzelpunkt wann

2 w \bar{w} = a^{2} b \neq 0

$2w\bar{w}=a^2b\ne0$ , leere Menge wann

2 w \bar{w} - a^{2} b < 0

$2w\bar{w}-a^2b<0$ .

René Schipperus · Answer 3

Die Gleichungen für Kreise und Linien über $\mathbb{R}$ sind quadratische Gleichungen, bei denen der quadratische Term von der Form ist $ax^2+ay^2$ . Aus Ihren Beobachtungen über die Realität des linearen Begriffs folgt die Behauptung.

Jede Linie oder jeder Kreis in CC\mathbb{C} sind Lösungsmengen der Gleichung...

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Daniel Fischer

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Daniel Fischer

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Wladimir

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Ei

René Schipperus

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