Eindeutig bestimmende komplexe Multiplikation

Question

Eindeutig bestimmende komplexe Multiplikation

Mathematik
komplexe Zahlen
komplexe Analyse

fragend

Ich bin auf folgendes Problem gestoßen und es ist mir nicht ganz klar, was ich genau tun soll:

Zeigen Sie, dass die folgenden Regeln die komplexe Multiplikation eindeutig bestimmen $\mathbb{C}=\mathbb{R^2}$ :

(A) $(z_1+z_2)w=z_1w+z_2w$

(B) $z_1z_2=z_2z_1$

(C) $i\cdot i=-1$

(D) $z_1(z_2z_3)=(z_1z_2)z_3$

(e) Wenn $z_1$ Und $z_2$ sind real, $z_1\cdot z_2$ ist das übliche Produkt reeller Zahlen.

Ich verstehe, dass (a) sich auf Distributivität bezieht, (b) sich auf Kommutativität bezieht, (c) ich mir nicht sicher bin, was das Ziel dort ist (gibt es einen speziellen Namen für diese Eigenschaft?), (d) sich auf Assoziativität bezieht, und (e) bezieht sich auf etwas anderes.

Betrachtet man beispielsweise (b) (mit $z_1=a_1+b_1i$ Und $z_2=a_2+b_2i$ ), Ich verstehe das

\begin{aligned} z_{1} z_{2} & = (A_{1} + B_{1} ich) (A_{2} + B_{2} ich) \\ = (A_{1} A_{2} + A_{1} B_{2} ich + B_{1} ich A_{2} + B_{1} ich B_{2} ich) \\ = (A_{1} A_{2} - B_{1} B_{2}) + (A_{1} B_{2} + A_{2} B_{1}) ich \end{aligned}

$\begin{align} z_1z_2 &= (a_1+b_1i)(a_2+b_2i)\\[0.5em] &= (a_1a_2+a_1b_2i+b_1ia_2+b_1ib_2i)\\[0.5em] &= (a_1a_2-b_1b_2)+(a_1b_2+a_2b_1)i \end{align}$ Und

\begin{aligned} z_{2} z_{1} & = (A_{2} + B_{2} ich) (A_{1} + B_{1} ich) \\ = (A_{2} A_{1} + A_{2} B_{1} ich + B_{2} ich A_{1} + B_{2} ich B_{1} ich) \\ = (A_{1} A_{2} - B_{1} B_{2}) + (A_{1} B_{2} + A_{2} B_{1}) ich \end{aligned}

$\begin{align} z_2z_1 &= (a_2+b_2i)(a_1+b_1i)\\[0.5em] &= (a_2a_1+a_2b_1i+b_2ia_1+b_2ib_1i)\\[0.5em] &= (a_1a_2-b_1b_2)+(a_1b_2+a_2b_1)i \end{align}$ Seit

Re (z_{1} z_{2}) = Re (z_{2} z_{1})

$\operatorname{Re}(z_1z_2)=\operatorname{Re}(z_2z_1)$ Und

Im (z_{1} z_{2}) = Im (z_{2} z_{1})

$\operatorname{Im}(z_1z_2)=\operatorname{Im}(z_2z_1)$ , es ist klar, dass

z_{1} z_{2} = z_{2} z_{1}

$z_1z_2=z_2z_1$ . Aber was zeigt das wirklich? Es scheint, als würde die Frage nach mehr fragen (etwas über Einzigartigkeit usw.).

Irgendwelche Ideen?

mlu

(c) sagt uns, dass i in diesem erweiterten Zahlensystem existiert und die Quadratwurzel von -1 ist. Dies wird verwendet, um das zu zeigen

b_{1} i b_{2} i = - b_{1} b_{2}

$b_1 i b_2 i = - b_1 b_2$

fragend

Richtig, aber ich bin mir nicht sicher, wie mich das dem Ziel näher bringt, zu beweisen, dass diese fünf Regeln zusammen die Multiplikation in eindeutig bestimmen

C

$\mathbb{C}$ . Ich denke, die eigentliche Frage ist: Was meint der Autor mit "eindeutig bestimmen"? Und deshalb bin ich hierher gekommen ... für Vorschläge. Ich habe wirklich keine Ahnung.

mlu

Nur mit diesen Regeln und sonst nichts, was du über komplexe Zahlen weißt, kannst du das Produkt zweier komplexer Zahlen berechnen. So bestimmen sie eindeutig die komplexe Multiplikation.

fragend

@mlu Das scheint plausibel, aber ich bin etwas verwirrt über eine Sache - warum sollte ich (c) zeigen müssen (b), wenn es so aussieht, als ob ich linear vorgehen soll? Warum sollte (d) auch enthalten sein, wenn ich mir nur Sorgen um die Berechnung des Produkts zweier komplexer Zahlen mache? Und das letzte Problem ergibt für mich nicht viel Sinn. Und für (a) vermute ich

w \in C

$w\in\mathbb{C}$ , aber es scheint, als wäre es implizit

w \in R

$w\in\mathbb{R}$ .

C. Falke

Wenn man dir gibt

⋆ : C \times C \to C

$\star:\mathbb{C}\times\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}$ ein Gesetz, das erfüllt

(a), (b), (c), (d)

$(a),(b),(c),(d)$ Und

(e)

$(e)$ , Dann

⋆

$\star$ ist die komplexe Multiplikation. Dies müssen Sie mit der Einnahme beweisen

z_{1} := a_{1} + i b_{1}, z_{2} := a_{2} + i b_{2} \in C

$z_1:=a_1+ib_1,z_2:=a_2+ib_2\in\mathbb{C}$ und Rechnen

z_{1} ⋆ z_{2}

$z_1\star z_2$ . Nur verwenden

(a), (b), (c), (d)

$(a),(b),(c),(d)$ Und

(e)

$(e)$ , du wirst finden:

z_{1} ⋆ z_{2} = (A_{1} A_{2} - B_{1} B_{2}) + ich (A_{1} B_{2} + B_{1} A_{2}) .

$z_1\star z_2=(a_1a_2-b_1b_2)+i(a_1b_2+b_1a_2).$ Beachten Sie, dass Sie ALLE Annahmen verwenden werden

(a), (b), (c), (d)

$(a),(b),(c),(d)$ Und

(e)

$(e)$ An

⋆

$\star$ .

fragend

@C.Falcon Wie wird (d) in dem verwendet, was Sie gezeigt haben? Ich denke, es wird "irgendwie" verwendet, wenn man das ausklammert

i

$i$ in meinen Berechnungen in meiner Hauptfrage? Das ist,

(b_{2} i) a_{1} = b_{2} (i a_{1})

$(b_2i)a_1=b_2(ia_1)$ und in Kombination mit Kommutativität erlaubt es mir, alles zu tun, was ich getan habe. Ist das sinnvoll?

C. Falke

Wenn Sie die Berechnungen Schritt für Schritt durchführen, werden Sie verwenden

(d)

$(d)$ , insbesondere beim Faktorisieren

i

$i$ wie du gesagt hast.

fragend

@C.Falcon Okay, das macht Sinn. Es sieht so aus, als ob das übergeordnete Ziel darin besteht, dies zu zeigen

C

$\mathbb{C}$ ist bezüglich der Multiplikation abgeschlossen. Interessante Vorgehensweise. Danke für die Hilfe!

C. Falke

Mit geschlossen unter Multiplikation meinst du wenn

w, z \in C

$w,z\in\mathbb{C}$ Dann

w \times z \in C

$w\times z\in\mathbb{C}$ ? Meiner Meinung nach ist das Ziel zu zeigen, dass man keine andere vernünftige Multiplikation (die die gegebenen Eigenschaften erfüllt) definieren kann

C

$\mathbb{C}$ als die bereits definierte.

Antworten (2)

Eindeutig bestimmende komplexe Multiplikation

(c) sagt uns, dass i in diesem erweiterten Zahlensystem existiert und die Quadratwurzel von -1 ist. Dies wird verwendet, um das zu zeigen $b_1 i b_2 i = - b_1 b_2$
Richtig, aber ich bin mir nicht sicher, wie mich das dem Ziel näher bringt, zu beweisen, dass diese fünf Regeln zusammen die Multiplikation in eindeutig bestimmen $\mathbb{C}$ . Ich denke, die eigentliche Frage ist: Was meint der Autor mit "eindeutig bestimmen"? Und deshalb bin ich hierher gekommen ... für Vorschläge. Ich habe wirklich keine Ahnung.
Nur mit diesen Regeln und sonst nichts, was du über komplexe Zahlen weißt, kannst du das Produkt zweier komplexer Zahlen berechnen. So bestimmen sie eindeutig die komplexe Multiplikation.
@mlu Das scheint plausibel, aber ich bin etwas verwirrt über eine Sache - warum sollte ich (c) zeigen müssen (b), wenn es so aussieht, als ob ich linear vorgehen soll? Warum sollte (d) auch enthalten sein, wenn ich mir nur Sorgen um die Berechnung des Produkts zweier komplexer Zahlen mache? Und das letzte Problem ergibt für mich nicht viel Sinn. Und für (a) vermute ich $w\in\mathbb{C}$ , aber es scheint, als wäre es implizit $w\in\mathbb{R}$ .
Wenn man dir gibt $\star:\mathbb{C}\times\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}$ ein Gesetz, das erfüllt $(a),(b),(c),(d)$ Und $(e)$ , Dann $\star$ ist die komplexe Multiplikation. Dies müssen Sie mit der Einnahme beweisen $z_1:=a_1+ib_1,z_2:=a_2+ib_2\in\mathbb{C}$ und Rechnen $z_1\star z_2$ . Nur verwenden $(a),(b),(c),(d)$ Und $(e)$ , du wirst finden: $z_{1} ⋆ z_{2} = (A_{1} A_{2} - B_{1} B_{2}) + ich (A_{1} B_{2} + B_{1} A_{2}) .$ $z_1\star z_2=(a_1a_2-b_1b_2)+i(a_1b_2+b_1a_2).$ Beachten Sie, dass Sie ALLE Annahmen verwenden werden $(a),(b),(c),(d)$ Und $(e)$ An $\star$ .
@C.Falcon Wie wird (d) in dem verwendet, was Sie gezeigt haben? Ich denke, es wird "irgendwie" verwendet, wenn man das ausklammert $i$ in meinen Berechnungen in meiner Hauptfrage? Das ist, $(b_2i)a_1=b_2(ia_1)$ und in Kombination mit Kommutativität erlaubt es mir, alles zu tun, was ich getan habe. Ist das sinnvoll?
Wenn Sie die Berechnungen Schritt für Schritt durchführen, werden Sie verwenden $(d)$ , insbesondere beim Faktorisieren $i$ wie du gesagt hast.
@C.Falcon Okay, das macht Sinn. Es sieht so aus, als ob das übergeordnete Ziel darin besteht, dies zu zeigen $\mathbb{C}$ ist bezüglich der Multiplikation abgeschlossen. Interessante Vorgehensweise. Danke für die Hilfe!
Mit geschlossen unter Multiplikation meinst du wenn $w,z\in\mathbb{C}$ Dann $w\times z\in\mathbb{C}$ ? Meiner Meinung nach ist das Ziel zu zeigen, dass man keine andere vernünftige Multiplikation (die die gegebenen Eigenschaften erfüllt) definieren kann $\mathbb{C}$ als die bereits definierte.

mlu · Answer 1

z_{1} z_{2} = (A_{1} + B_{1} ich) (A_{2} + B_{2} ich) = (Regel a)

$z_1 z_2 = (a_1 + b_1 i)(a_2 + b_2 i) = \text{(rule a)}$

A_{1} (A_{2} + B_{2} ich) + (B_{1} ich) (A_{2} + B_{2} ich) = (Regel b)

$a_1(a_2 + b_2 i) + (b_1 i)(a_2 + b_2 i) = \text{(rule b)}$

(A_{2} + B_{2} ich) A_{1} + (A_{2} + B_{2} ich) (B_{1} ich) = (Regel a)

$(a_2 + b_2 i) a_1 + (a_2 + b_2 i)(b_1 i) = \text{(rule a)}$

A_{2} A_{1} + (B_{2} ich) A_{1} + A_{2} (B_{1} ich) + (B_{2} ich) (B_{1} ich) = (Regel d)

$a_2 a_1 + (b_2 i) a_1 + a_2 (b_1 i) + (b_2 i)(b_1 i) = \text{(rule d)}$

A_{2} A_{1} + (B_{2} A_{1}) ich + (A_{2} B_{1}) ich + ((B_{2} ich) B_{1}) ich = (Regel b)

$a_2 a_1 + (b_2 a_1) i + (a_2 b_1) i + ((b_2 i)b_1) i = \text{(rule b)}$

A_{2} A_{1} + ich (B_{2} A_{1}) + ich (A_{2} B_{1}) + ((ich B_{2}) B_{1}) ich = (Regel a und d)

$a_2 a_1 + i(b_2 a_1) + i(a_2 b_1) + ((i b_2)b_1) i = \text{(rule a and d)}$

A_{2} A_{1} + ich (B_{2} A_{1} + A_{2} B_{1}) + (ich (B_{2} B_{1})) ich = (Regel b)

$a_2 a_1 + i(b_2 a_1 + a_2 b_1) + (i (b_2 b_1)) i = \text{(rule b)}$

A_{2} A_{1} + (B_{2} A_{1} + A_{2} B_{1}) ich + ((B_{2} B_{1}) ich) ich = (Regel d)

$a_2 a_1 + (b_2 a_1 + a_2 b_1)i + ((b_2 b_1) i) i = \text{(rule d)}$

A_{2} A_{1} + (B_{2} A_{1} + A_{2} B_{1}) ich + (B_{2} B_{1}) (ich ich) = (Regel c)

$a_2 a_1 + (b_2 a_1 + a_2 b_1)i + (b_2 b_1) (i i) = \text{(rule c)}$

A_{2} A_{1} + (B_{2} A_{1} + A_{2} B_{1}) ich + (B_{2} B_{1}) (- 1) = (Regel e)

$a_2 a_1 + (b_2 a_1 + a_2 b_1)i + (b_2 b_1) (-1) = \text{(rule e)}$

A_{2} A_{1} - B_{1} B_{2} + (B_{2} A_{1} + A_{2} B_{1}) ich

$a_2 a_1 - b_1 b_2 + (b_2 a_1 + a_2 b_1)i$

Ich mag den Ablauf, aber die Nebenkommentare sind für mich etwas verwirrend ... es scheint, dass Sie sie verwenden, um zu sagen: "Diese Regel gilt, um das Folgende zu erhalten." Zum Beispiel verweisen Sie in der ersten Zeile auf (a), obwohl das Produkt einfach durch die Definition komplexer Zahlen entsteht, aber Sie verwenden (a), um von der ersten zur zweiten Zeile zu gelangen. Und so weiter und so fort. Ist das sinnvoll? Ansonsten macht es für mich Sinn!
Die angegebenen Regeln sind diejenigen, die verwendet werden, um zur nächsten Zeile zu gelangen (deshalb stehen sie zwischen dem = und der nächsten Zeile, vielleicht sollten sie über dem =-Zeichen stehen).
Abgesehen davon, haben Sie jemals darüber nachgedacht, die alignUmgebung oder das \tagFeature zu verwenden? Ziemlich praktisch für solche Dinge. Trotzdem danke für die Hilfe!

Alex Probst · Answer 2

Nun, nur die gegebenen Regeln verwendend, bezeichnet man das komplexe Produkt mit $\cdot$ , das können wir für beliebige komplexe Zahlen sagen $z = a + i \cdot b$ Und $w = c + i\cdot d$ , müssen wir haben (mit $(d)$ immer dann, wenn es Terme gibt, die mindestens zwei Multiplikationen und Schreiben beinhalten $a \cdot b \cdot c$ für $a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c)$ ):

\begin{aligned} z \cdot w & = (A + ich \cdot B) \cdot (C + ich \cdot D) \\ = A \cdot (C + ich \cdot D) + ich \cdot B \cdot (C + ich \cdot D) Verwendung einer) \\ = (C + ich \cdot D) \cdot A + (C + ich \cdot D) \cdot ich \cdot B mit (b) \\ = C \cdot A + ich \cdot D \cdot A + C \cdot ich \cdot B + ich \cdot D \cdot ich \cdot B Verwendung einer) \\ = C \cdot A + ich \cdot D \cdot A + ich \cdot C \cdot B + ich \cdot ich \cdot D \cdot B mit (b) \\ = C \cdot A + ich \cdot D \cdot A + ich \cdot C \cdot B - D \cdot B mit (c) \\ = C \cdot A - D \cdot B + ich \cdot (D \cdot A + C \cdot B) Verwendung einer) \\ = C A - D B + ich \cdot (D A + C B) unter Verwendung von (e), was eine reelle Multiplikation durch Gegenüberstellung bezeichnet \end{aligned}

$\begin{align*} z\cdot w &= (a+i\cdot b)\cdot (c+i\cdot d) \\ &= a \cdot (c+i\cdot d) + i\cdot b \cdot (c+i\cdot d) \quad \text{using (a)} \\ &= (c+i\cdot d) \cdot a + (c+i\cdot d)\cdot i\cdot b \quad \text{using (b)} \\ &= c\cdot a + i\cdot d \cdot a + c \cdot i\cdot b + i\cdot d \cdot i\cdot b \quad \text{using (a)} \\ &= c \cdot a + i \cdot d \cdot a + i \cdot c \cdot b + i \cdot i \cdot d \cdot b \quad \text{using (b)} \\ &= c \cdot a + i \cdot d \cdot a + i \cdot c \cdot b - d \cdot b \quad \text{using (c)} \\ &= c \cdot a - d \cdot b + i \cdot (d \cdot a + c \cdot b)\quad \text{using (a)} \\ &= c a - d b + i \cdot (d a + c b)\quad \text{using (e), denoting real multiplication by juxtaposition} \\ \end{align*}$

Die komplexe Multiplikation wird also eindeutig durch diese Regeln bestimmt.

Interessant, dass Sie sich entschieden haben, im ersten Schritt von links statt von rechts (mit (a)) zu multiplizieren. Aber es ist kommutativ, also spielt es wirklich keine Rolle (oder vielleicht mache ich einfach keinen Sinn mehr).
@interrogative Du hast Recht, ich habe nicht aufgepasst und versehentlich die Mechanik "Umschalten, dann verteilen, dann zurückschalten" übersprungen, weil die Dinge, wie du sagst, kommutativ sind.

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Alex Probst

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Alex Probst

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