|z1−z2|≤|1−z1z2¯¯¯¯¯||z1−z2|≤|1−z1z2¯||z_1-z_2|\le|1-z_1\overline{z_2}|?

Question

|z1−z2|≤|1−z1z2¯¯¯¯¯||z1−z2|≤|1−z1z2¯||z_1-z_2|\le|1-z_1\overline{z_2}|?

Ungleichheit
Mathematik
komplexe Zahlen
komplexe Analyse

Adham

Ist die folgende Ungleichung wahr?

Lassen $z_1,z_2\in \mathbb{C}$ so dass $|z_1|=1,|z_2|=1$ . Dann

| z_{1} - z_{2} | \leq | 1 - z_{1} \bar{z_{2}} | .

$|z_1-z_2|\le|1-z_1\overline{z_2}|.$ Gibt es eine gute Möglichkeit, dies zu beweisen (oder zu widerlegen), außer zu schreiben?

z_{1} = a + b i

$z_1=a+bi$ Und

z_{2} = c + d i

$z_2=c+di$ und versuchen Sie zu sehen, ob die Ungleichung gilt?

Wird R

Quadriere beide Seiten und nutze die Tatsache, dass

w \bar{w} = | w |^{2} .

$w\bar{w}=|w|^{2}.$ Multiplizieren Sie die Klammern und verwenden Sie die Annahmen. Beachten Sie dann, dass alle Ihre Implikationszeichen reversibel sind.

avs

Da alle Zahlen Modul Eins haben, haben sie die Form

e^{i θ_{k}}, k = 1, 2

$e^{i \theta_{k}}, \; k = 1, 2$ . Aber multipliziere auch die rechte Seite deiner Ungleichung mit

| z_{2} |

$|z_{2}|$ :

| z_{2} (1 - z_{1} {\bar{z}}_{2}) | = \dots

$| z_{2} (1 - z_{1} \overline{z}_{2})| = \ldots$

Antworten (1)

|z1−z2|≤|1−z1z2¯¯¯¯¯||z1−z2|≤|1−z1z2¯||z_1-z_2|\le|1-z_1\overline{z_2}|?

Quadriere beide Seiten und nutze die Tatsache, dass $w\bar{w}=|w|^{2}.$ Multiplizieren Sie die Klammern und verwenden Sie die Annahmen. Beachten Sie dann, dass alle Ihre Implikationszeichen reversibel sind.
Da alle Zahlen Modul Eins haben, haben sie die Form $e^{i \theta_{k}}, \; k = 1, 2$ . Aber multipliziere auch die rechte Seite deiner Ungleichung mit $|z_{2}|$ : $| z_{2} (1 - z_{1} {\bar{z}}_{2}) | = \dots$ $| z_{2} (1 - z_{1} \overline{z}_{2})| = \ldots$

Jacky Chong · Answer 1

Beobachten

\begin{aligned} | z_{1} - z_{2} | = | z_{2} | | z_{1} z_{2}^{- 1} - 1 | \end{aligned}

$\begin{align} |z_1-z_2| = |z_2||z_1z_2^{-1}-1| \end{align}$ Aber

z_{2}^{- 1} = {\bar{z}}_{2}

$z_2^{-1} = \bar z_2$ seit

| z_{2} | = 1

$|z_2|=1$ .

|z1−z2|≤|1−z1z2¯¯¯¯¯||z1−z2|≤|1−z1z2¯||z_1-z_2|\le|1-z_1\overline{z_2}|?

Adham

Wird R

avs

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Jacky Chong

Adham

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