Was ist das Bild von P in BC?

Erweitern Sie die Höhe von$A$den Umkreis treffen bei$P'\equiv z$

Wir haben$\angle POC = 2 \angle PAC = \pi-2C = \theta$.

Auch$|z| = |z_3|$

Somit$\dfrac{z_3}{z} = e^{i\theta}$

Ähnlich$\dfrac{z_2}{z_1} = e^{i2C} = e^{\pi-\theta}$

Somit$\dfrac{z_3}{z} \times \dfrac{z_2}{z_1} = e^{\pi}=-1 \Rightarrow z = -\dfrac{z_2z_3}{z_1}$. So gegebener Punkt$P=P'$dh es ist der Schnittpunkt der Höhe aus$A$mit dem Umkreismittelpunkt.

Durch ein bekanntes Ergebnis $P$und das Orthozentrum$H$von$\triangle ABC$sind Bilder von einander quer$BC$. Daher Reflexion von$P$über$BC$ist das Orthozentrum.

Schließlich seit Umkreismittelpunkt von$\triangle ABC$am Ursprung ist, entspricht dem Orthozentrum$z_1+z_2+z_3$

Drehen Sie das Koordinatensystem so, dass$BC$ist horizontal.Let$Z_1=4e^{i\theta_1}$,$Z_2=4e^{i\theta_2}$. Aus der Bedingung, dass$BC$horizontal ist, haben wir$Z_3=4e^{i(\pi-\theta_2)}=-4e^{-i\theta_2}$. Daher,

Um nun das Bild des Punktes zu finden, wechseln wir zum kartesischen Koordinatensystem. Hier die Linie$BC$wird vertreten durch$y=4\sin(\theta_2)$. Der$X$Bestandteil von$P$wird beim Nachdenken gleich bleiben, während die$Y$Komponente wird$4\sin(\theta_2)-(4\sin(\theta_1)-4\sin(\theta_2))=4(2\sin(\theta_2)-\sin(\theta_1))$. Damit haben wir den erforderlichen Punkt ermittelt.