Herausfinden des Arguments der Ecke einer Raute mit den Bedingungen |z1|=|z2|=4|z1|=|z2|=4|z_1|=|z_2|=4 und |z3|=6|z3|=6| z_3|=6.

Question

Herausfinden des Arguments der Ecke einer Raute mit den Bedingungen |z1|=|z2|=4|z1|=|z2|=4|z_1|=|z_2|=4 und |z3|=6|z3|=6| z_3|=6.

Geometrie
Mathematik
komplexe Zahlen

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Lassen $O, Z_1, Z_2, Z_3$ seien die jeweiligen Ecken einer Raute, so dass $O$ ist der Ursprung, $|Z_1|=|Z_2|=4$ Und $|Z_3|=6$ . Was ist $\arg(Z_3)$ , Wenn $\arg(Z_2-Z_1)=\dfrac{\pi}{3}$ ?

Ich habe versucht, diese Frage zu lösen, indem ich nahm $Z_1=2(\cos a+i\sin a)$ Und $Z_2=2(\cos b+i\sin b)$ .Dann $\arg(Z_2-Z_1)=\arg(2((\cos a-\cos b)+i(\sin a-\sin b))$ . Ich konnte danach nicht fortfahren. Ich habe auch versucht, die Kosinusformel zu verwenden, aber auch das hat mir nicht geholfen. Irgendwelche Ideen, um voranzukommen, würden sehr geschätzt.

Danke.

Antworten (5)

Herausfinden des Arguments der Ecke einer Raute mit den Bedingungen |z1|=|z2|=4|z1|=|z2|=4|z_1|=|z_2|=4 und |z3|=6|z3|=6| z_3|=6.

Nilabro Saha · Answer 1

Da noch kein Koordinatensystem auferlegt wurde, lassen Sie mich das einfach in Betracht ziehen $A(Z_1)$ liegt auf dem Minus $x$ -Achse und $B(Z_2)$ liegt im zweiten Quadranten. Dann $C(Z_3)$ liegt ebenfalls im zweiten Quadranten. Das ist uns gegeben $\angle BAO =\pi/3$ . Bei einer Raute halbieren die Diagonalen die Innenwinkel. Somit $\angle CAO =2\pi/3$ . Auch seit $CA \ || \ BO$ , wir haben $\angle BOD =2\pi/3$ . Es folgt dem $\angle BOA = \pi/3$ . Und da Diagonalen Innenwinkel halbieren, $\angle BOC = \pi/6$ . Daher, $\arg(Z_3) = \angle BOC + \angle BOD = 5\pi/6$ . Nun könnte die Raute auch über den Ursprung gespiegelt erhalten werden $\arg(Z_3) = -\pi/6$ . Jede andere Ausrichtung der Raute verstößt $\arg(Z_2-Z_1) =\pi/3$ .

BEARBEITEN: $D$ ist ein beliebiger positiver Punkt $x$ -Achse.

Ng Chung Tak · Answer 2

Lassen $Z_1=4\operatorname{cis} \theta$ Und $Z_2=4\operatorname{cis} \phi$ .

Nach dem Parallelogrammgesetz

Z_{3} = Z_{1} + Z_{2} = 8 \cos \frac{θ - ϕ}{2} cis \frac{θ + ϕ}{2}

$Z_3=Z_1+Z_2=8\cos \frac{\theta-\phi}{2} \operatorname{cis} \frac{\theta+\phi}{2}$

\cos \frac{θ - ϕ}{2} = \frac{3}{4}

$\cos \frac{\theta-\phi}{2}=\frac{3}{4}$ was mit dem Kosinusgesetz vereinbar ist.

Auch,

Arg Z_{3} = \frac{θ + ϕ}{2}

$\arg Z_3 = \frac{\theta+\phi}{2}$

Jetzt

\begin{aligned} Z_{2} - Z_{1} & = 4 (cis θ - cis ϕ) \\ = 2 Sünde \frac{θ - ϕ}{2} (- Sünde \frac{θ + ϕ}{2} + ich \cos \frac{θ + ϕ}{2}) \\ = 2 Sünde \frac{θ - ϕ}{2} cis \frac{θ + ϕ + π}{2} \end{aligned}

$\begin{align*} Z_2-Z_1 &= 4(\operatorname{cis} \theta-\operatorname{cis} \phi) \\ &= 2\sin \frac{\theta-\phi}{2} \left( -\sin \frac{\theta+\phi}{2}+i\cos \frac{\theta+\phi}{2} \right) \\ &= 2\sin \frac{\theta-\phi}{2} \operatorname{cis} \frac{\theta+\phi+\pi}{2} \\ \end{align*}$

Das bedeutet

$Z_{1} Z_{2} ⊥ Ö Z_{3}$ $Z_1 Z_2 \perp OZ_3$

Deshalb

$Arg Z_{3} = \frac{5 π}{6} oder \frac{11 π}{6}$ $\arg Z_3=\frac{5\pi}{6} \quad \text{or} \quad \frac{11\pi}{6}$

Wenn ich der Lehrer wäre, benötige ich nur die Materialien in den gelben Kästen.

Nosrati · Answer 3

Lassen $z_1=4(\cos\alpha+i\sin\alpha)$ , $z_2=4(\cos\beta+i\sin\beta)$ Dann

z_{2} - z_{1} = 4 [\cos β - \cos a + ich Sünde β - ich Sünde a]

$z_2-z_1=4\Big[\cos\beta-\cos\alpha+i\sin\beta-i\sin\alpha\Big]$ daher

bräunen \frac{π}{3} = bräunen Arg (z_{2} - z_{1}) = \frac{Sünde β - Sünde a}{\cos β - \cos a} = - Kinderbett \frac{a + β}{2} = - bräunen (\frac{π}{2} - \frac{a + β}{2})

$\tan\frac{\pi}{3}=\tan\arg(z_2-z_1)=\frac{\sin\beta-\sin\alpha}{\cos\beta-\cos\alpha}=-\cot\frac{\alpha+\beta}{2}=-\tan\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\alpha+\beta}{2}\right)$ oder

\frac{π}{3} = - \frac{π}{2} + \frac{a + β}{2}; \frac{π}{3} = π - \frac{π}{2} + \frac{a + β}{2}

$\frac{\pi}{3}=-\frac{\pi}{2}+\frac{\alpha+\beta}{2}~~~~;~~~~\frac{\pi}{3}=\pi-\frac{\pi}{2}+\frac{\alpha+\beta}{2}$ Mit einer einfachen geometrischen Betrachtung sehen wir, dass Rhombusdiagonalen senkrecht stehen, und

z_{3}

$z_3$ ist die Winkelhalbierende von

z_{1}

$z_1$ und

‎ z_{2}

$‎z_2$ , also

Arg z_{3} = \frac{a + β}{2} = \frac{5 π}{6}, \frac{- π}{6}

$\arg z_3=\frac{\alpha+\beta}{2}=\color{blue}{\dfrac{5\pi}{6}, \dfrac{-\pi}{6}}$

Wie kannst du das sagen $z_2=4\exp(i(\pi/3+\alpha))$ ? Das ist falsch.
Und wie kann in Ihrer letzten Gleichung das Produkt von drei Faktoren, die alle nicht verschwinden, Null sein? Diese Gleichung hat keine Lösungen.
Das Produkt zweier komplexer Zahlen kann nicht verschwinden, wenn keiner der Faktoren verschwindet.
@Aretino Was ist ein seltsamer Fehler. du hast Recht. wird bearbeiten.

Intelligente pauca · Answer 4

Nach Ihren Angaben Rautendiagonale $Z_1Z_2$ bildet einen Winkel von $\pi/3$ mit der reellen Achse. Daraus folgt, dass die andere Diagonale $OZ_3$ , die senkrecht dazu steht $Z_1Z_2$ , bildet einen Winkel von $\pi/3\pm\pi/2$ mit reeller Achse: $\arg Z_3=\pi/3\pm\pi/2$ .

Zukunftsforscher · Answer 5

Zeichnen Sie einfach ein Bild und verwenden Sie einfache Geometrie. $Arg(Z_3) = 2 \pi - \frac{\pi}{6}$ Wenn $OZ_1Z_3Z_2$ gegen den Uhrzeigersinn orientiert ist oder $Arg(Z_3) = \pi - \frac{\pi}{6}$ Wenn $OZ_1Z_3Z_2$ ist im Uhrzeigersinn orientiert

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