Durchschnitt einer ungeraden Anzahl von Punkten mit gleichem Abstand auf einem Kreis

Ich möchte zeigen, dass der Durchschnitt einer ungeraden Anzahl von Punkten mit gleichem Abstand auf dem Einheitskreis gleich 0 ist. Genauer gesagt, lasst N eine ungerade Zahl sein, θ 1 , … , θ N ∈ [ 0 , 2 π ) Und

R e ich ψ := 1 N ∑ ich = 1 N e ich θ ich .
Das wollen wir zeigen, wenn die θ ich s sind dann gleich beabstandet R = 0 . Ich bemerke, dass ich die Formeln von Vieta nicht verwenden, sondern "von Hand" beweisen möchte.

Ich konnte diese Formel für beweisen R :

R = 1 N ( N + 2 ∑ ich = 1 N − 1 ∑ J = ich + 1 N cos ⁡ ( θ ich − θ J ) ) 1 / 2
(Ich würde nicht wissen, ob dies eine bekannte Formel ist oder nicht ...). Wenn die Winkel gleich beabstandet sind, haben wir bei der Umetikettierung ggf θ ich = 2 ( ich − 1 ) π N , ich = 1 , … , N so dass
R 2 = 1 N 2 ( N + 2 ∑ ich = 1 N − 1 ∑ J = ich + 1 N cos ⁡ ( θ ich − θ J ) ) = 1 N 2 ( N + 2 ∑ ich = 1 N − 1 ∑ J = ich + 1 N cos ⁡ ( 2 ( ich − J ) π N ) )
Dann möchten wir das gerne zeigen
∑ ich = 1 N − 1 ∑ J = ich + 1 N cos ⁡ ( 2 ( ich − J ) π N ) = − N 2 .
Wenn wir setzen N = 2 k + 1 k ∈ N wir können die vorherige Formel in Bezug auf umschreiben k :
∑ ich = 1 2 k ∑ J = ich + 1 2 k + 1 cos ⁡ ( 2 ( ich − J ) π 2 k + 1 ) = − k − 1 2 .
Das Erweitern dieser doppelten Summe ergibt
∑ ich = 1 2 k ∑ J = ich + 1 2 k + 1 cos ⁡ ( 2 ( ich − J ) π 2 k + 1 ) = cos ⁡ ( − 2 π 2 k + 1 ) + cos ⁡ ( − 4 π 2 k + 1 ) + … + cos ⁡ ( − 4 k π 2 k + 1 ) + cos ⁡ ( − 2 π 2 k + 1 ) + cos ⁡ ( − 4 π 2 k + 1 ) + … + cos ⁡ ( − ( 4 k − 2 ) π 2 k + 1 ) ⋮ + cos ⁡ ( − 2 π 2 k + 1 ) + cos ⁡ ( − 4 π 2 k + 1 ) + cos ⁡ ( − 2 π 2 k + 1 )
was umgestellt werden kann als:
∑ ich = 1 2 k ∑ J = ich + 1 2 k + 1 cos ⁡ ( 2 ( ich − J ) π 2 k + 1 ) = 2 k cos ⁡ ( 2 π 2 k + 1 ) + ( 2 k − 1 ) cos ⁡ ( 4 π 2 k + 1 ) + … + 2 cos ⁡ ( ( 4 k − 2 ) π 2 k + 1 ) + cos ⁡ ( 4 k π 2 k + 1 ) .

Dann meine Frage: Stimmt das?

2 k cos ⁡ ( 2 π 2 k + 1 ) + ( 2 k − 1 ) cos ⁡ ( 4 π 2 k + 1 ) + … + 2 cos ⁡ ( ( 4 k − 2 ) π 2 k + 1 ) + cos ⁡ ( 4 k π 2 k + 1 ) = − k − 1 2 ?
Ich habe es auf einige Werte von überprüft k und versuche Induktion für den allgemeinen Fall, aber ich kam nicht sehr weit. Wie ich bereits erwähnt habe, kann man das Ergebnis auch mit Vietas Formel beweisen, aber es scheint, dass man es auch auf diese Weise beweisen kann.

Es könnte hilfreich sein, sich die Pole eines Butterworth-Filters (Tiefpass-Prototyp) vorzustellen, die genau so sind. Wie sich herausstellt, haben Sie für gerade Ordnungen eine gerade Anzahl symmetrisch platzierter Pole (sowohl auf x als auch auf y, wenn Sie das H (w) ^ 2 berücksichtigen), und ungerade Ordnungen haben einen zusätzlichen Pol bei -1 (und +1 für H(w)^2). Sie würden sich also alle aufheben, wenn sie summiert würden. Ich nehme an, ein Bild würde es einfacher machen (nur die linke Seite).
Mit komplexen Zahlen erhält man einen sehr einfachen und eleganten Beweis. Siehe Beweis, dass Summen komplexer Einheitswurzeln Null sind
Für ein anderes geometrisches Argument ist das gleichbedeutend mit der Aussage, dass der Schwerpunkt (" Durchschnitt ") der Eckpunkte eines regelmäßigen Polygons der Mittelpunkt seines Umkreises ist. Beachten Sie, dass sich der Schwerpunkt eines Polygons nicht ändert, wenn Sie die Endpunkte jeder Seite durch den Mittelpunkt derselben Seite ersetzen. Wiederholen Sie diesen Vorgang, beginnend mit dem gegebenen regelmäßigen Polygon. Bei jedem Schritt erhalten Sie ein neues, kleineres regelmäßiges Vieleck, dessen Umkreis denselben Mittelpunkt hat. Im Grenzfall, wenn die Polygone immer kleiner werden, konvergieren alle Scheitelpunkte zum Mittelpunkt des Kreises, das ist also der Schwerpunkt.
Dies ist einfach ein Fall einer endlichen geometrischen Folgensummierung, bei der die zuerst vorhandenen und die ersten nicht vorhandenen Terme der zugrunde liegenden (unendlichen) geometrischen Folge unterschiedlich sind 0 .

Antworten (4)

Die Antwort von Golden_Ratio ist völlig in Ordnung, aber hier ist eine potenziell intuitivere, weniger abstrakte Art, die Antwort mithilfe von Symmetrie zu sehen:

Angenommen, Sie haben fünf Punkte. Wenn Sie sie alle um ein Fünftel einer vollen Drehung drehen, befinden sich die fünf Punkte an denselben fünf Positionen, nur in einer anderen Reihenfolge gemischt.

Der Durchschnitt der fünf Punkte daher

  1. Muss genau gleich sein, denn die fünf Punkte sind gleich
  2. Muss um eine fünftel volle Umdrehung gedreht werden.

Die einzige Zahl, die hier funktionieren kann (dh gedreht werden kann, aber genau gleich bleibt), ist die Zahl 0 . Das muss also die Antwort sein.

Das ist in der Tat sehr schön, der Durchschnitt der Rotation ist die Rotation des Durchschnitts ... Ich hatte ein paar geometrische Argumente im Sinn, aber dieses ist sehr sauber. Danke!
Pedant Alert: 1 ist eine ungerade Anzahl (von Punkten auf dem Kreis), deren durchschnittliche Position nicht im Ursprung liegt, sondern auf dem Kreis, wo immer sie sich befindet.
Mit anderen Worten, X ¯ = e ( 2 π ich ) / N X ¯ , So ( 1 − e ( 2 π ich ) / N ) X ¯ = 0 . Wenn N = 1 , das gibt nur 0 = 0 , aber falls N > 1 , es folgt dem X ¯ = 0 .
@user121330: Es ist auf jeden Fall wertvoll darauf hinzuweisen, dass es bei diesem Argument darauf ankommt, dass eine Rotation ohne Identität der Schlüssel ist! Es kann auch sinnvoll sein, einen solchen Schritt implizit zu belassen. Diese Antwort ist auf der gleichen Formalitätsebene geschrieben wie die Frage, die auch besagt, dass der Durchschnitt Null sein sollte, obwohl dies für einen einzigen Punkt nicht der Fall ist. Ob die Inkonsistenz es wert ist, gemeldet zu werden, hängt davon ab, ob es sich um eine falsche Vorstellung oder eine absichtliche Formlosigkeit handelt – und auch, ob sie Zuschauer irreführen könnte.

Das Ergebnis sollte für alle gelten N > 1 (nicht nur seltsam N ). Erster Rückruf für R ≠ 1 ,

∑ k = 0 N − 1 R k = 1 − R N 1 − R . ( 1 )

Beachten Sie, dass gleich beabstandete Punkte auf dem Einheitskreis im Wesentlichen die Wurzeln der Einheit sind, bis zu einer Drehung um den Winkel ϕ . Und es ist bekannt, dass die Summe der N ten Einheitswurzeln bis zu einer beliebigen Drehung für N > 1 ist seit Null

∑ k = 0 N − 1 e ( 2 k π / N + ϕ ) ich = e ϕ ich ∑ k = 0 N − 1 e 2 k π ich / N = e ϕ ich 1 − e 2 π ich 1 − e 2 π ich / N = 0 ,

wo die vorletzte Gleichheit verwendet ( 1 ) , und die endgültige Gleichheit ist durch Eulers Identität.

Interessanterweise wird die Formel für die geometrische Summe normalerweise durch Multiplizieren mit angezeigt 1 − R , was dies mit der Antwort von Simon verbindet.
"Das Ergebnis sollte für jedes n>1 gelten (nicht nur für ungerade n)." Es ist nicht so, dass der Beweis für ungerade schwieriger ist; vielmehr ist der Beweis für gerade viel trivialer; Jeder Punkt kann mit einem Gegenteil gepaart werden, das ihn aufhebt. Das lässt den ungeraden Fall übrig, der einen weiteren Beweis benötigt.
@Akkumulation: Ja - aber nachdem man den Beweis für den ungeraden Fall gegeben hat, sieht man, dass es für den allgemeinen Fall funktioniert, also ist es nicht nötig, überhaupt eine Fallaufteilung durchzuführen.

Die Symmetrie erlaubt keinen anderen Mittelwert als den Kreismittelpunkt. Hier ist eine Möglichkeit, das etwas formeller zu gestalten:

Wählen Sie ein orthonormales Koordinatensystem mit seinem Ursprung im Mittelpunkt eines Kreises mit Radius R , und die x-Achse so gerichtet, dass θ 1 = 0 .

Beachten Sie, dass aufgrund des gleichmäßigen Abstands die verbleibenden Winkel in Paaren der Form gruppiert werden ± M 2 π N . Die Mitglieder jedes Paares haben die entgegengesetzten Sinus (und Sünde ⁡ θ 1 = 0 ), also im Mittel alle Sinusterme, die proportional entsprechen j Koordinaten, abbrechen. Daraus folgt, dass der Durchschnitt aller Punkte auf der gewählten x-Achse liegt, einer Linie, die den Ursprung und enthält ( R , θ 1 ) P Ö l A R .

Beachten Sie nun, dass wir dasselbe Argument anwenden können, um zu bestimmen, dass der Durchschnitt auf jeder Zeile liegt, die den Ursprung und einen der enthält ( R , θ ich ) . Diese können nicht alle dieselbe Linie sein, da eine Linie einen Kreis an höchstens zwei Punkten schneidet und es mindestens drei verschiedene gibt ( R , θ ich ) . Wählen Sie zwei verschiedene Linien aus dem Satz. Wir wissen, dass der Durchschnitt auf beiden liegt, also muss er an ihrem Schnittpunkt liegen. Wir wissen, dass ihr Schnittpunkt einzigartig ist, weil die Linien verschieden sind. Und wir wissen, dass der Ursprung, der sich in der Mitte des Kreises befindet, auf beiden Linien liegt, also muss es der Schnittpunkt sein.

Beachten Sie, dass dies nicht besonders davon abhängt, ob die Anzahl der Punkte ungerade ist. Mit nur geringfügigen Änderungen kann es auf eine beliebige Anzahl von Punkten größer als zwei verallgemeinert werden.

+1. Vielleicht informeller und kürzer: Zeichnen Sie eine Linie durch einen der Punkte und die Mitte und sehen Sie, dass der Durchschnitt auf dieser Linie liegen muss, aufgrund der Symmetrie der Paare anderer Punkte über der Linie; da es auf allen solchen Linien liegt, muss es dort sein, wo sich solche Linien in der Mitte schneiden, zumindest wenn N > 2 wenn es mehr als eine Zeile gibt. Bei genauerem Hinsehen ist die Aussage auch dann wahr N = 2 (eine andere Symmetrie), aber nicht wahr wann N = 1
Das ist sehr nett! Ich hatte eigentlich das Argument für die Sinus im Sinn, aber ich wusste nicht, wie man für den Durchschnitt auf der x-Achse vorgeht. Danke!

Wenn Sie die Punkte als Vektoren betrachten und sie Kopf an Kopf legen, erzeugen Sie eine Kurve, die aus Liniensegmenten gleicher Länge mit Außenwinkeln von besteht 2 π N . Ein regelmäßiges n-Eck besteht aus gleich langen Strecken mit Außenwinkeln von 2 π N . Sie können nicht zwei verschiedene Formen mit denselben Längen und Winkeln haben, also muss die Kurve ein regelmäßiges n-Eck sein, was bedeutet, dass sich das letzte mit dem ersten verbindet, was bedeutet, dass ihre Summe ist 0 .

Das elfte Wort sollte "sie" sein.
Durchschnitt einer ungeraden Anzahl von Punkten mit gleichem Abstand auf einem Kreis
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