Der Umkreismittelpunkt liegt auf der Höhe

Problem: Ein$\triangle ABC$, lassen$D$sei der Schnittpunkt der Tangenten an den Umkreis an$B$Und$C$, lassen$B'$sei das Spiegelbild von$B$über$AC$, lassen$C'$sei das Spiegelbild von$C$über$AB$. Beweisen Sie, dass der Umkreismittelpunkt von$\triangle DB'C'$liegt auf der Höhe von$A$In$\triangle ABC$.

Wenn wir lassen$O_2,O_3$seien die Umkreise von$\triangle AB'C,\triangle AC'B$, dann beachte das$\triangle C'O_3O\cong\triangle B'O_2O$. Dies ist definitiv wahr, denn es ist notwendig, damit die Problemstellung wahr ist (auch ich habe es auf GeoGebra getestet): Eindeutig$H\in (AB'C),(AB'C)$, Wo$H$ist das Orthozentrum von$\triangle ABC$(seit$\angle AHB=\beta+\gamma,\angle AB'C=\angle AC'B=\alpha$, Wo$\angle BAC=\alpha,\angle ABC=\beta, \angle BCA=\gamma$). Dann da Kreise$(AC'B),(AB'C),(ABC)$sind alle kongruent, durch die Kongruenz der Dreiecke haben wir$OO_2=OO_3\implies \text{pow}_{(AC'B)}(O)=\text{pow}_{(AB'C)}(O)$. Aber seit$AH$ist die radikale Achse von$(AC'B),(AB'C)$,$O\in AH$, So$O$liegt auf der Höhe von$A$.

Aber ich konnte das nicht beweisen$\triangle C'O_3O\cong\triangle B'O_2O$. Deutlich$OC'=OB',O_3C'=O_2B'$, aber ich konnte das nicht beweisen$\angle OC'O_3=\angle OB'O_2$(obwohl ich weiß, dass es definitiv wahr ist).