Gegebener Ort ist ein Kreis, beweise, dass zwei Geraden senkrecht stehen

Nehmen wir an, den Fall paralleler (oder zusammenfallender) Linien zu ignorieren$\ell_1$Und$\ell_2$treffen sich am einzigartigen Punkt$O$. Irgendein Kreis herum$O$trifft die Linien an den Eckpunkten eines Rechtecks$\square ABCD$; es trifft auch die Winkelhalbierenden der Winkel, die durch diese Linien an den Eckpunkten eines Quadrats gebildet werden$\square WXYZ$(weil die Winkelhalbierenden notwendigerweise senkrecht sind).

Jeder Scheitelpunkt von$\square ABCD$ist auf Distanz$0$von beiden$\ell_1$oder$\ell_2$, und befindet sich in einer gemeinsamen Entfernung (z$k$) von der anderen von$\ell_1$oder$\ell_2$. Somit ist "die Summe der Quadrate der Abstände zu den Linien" eine Konstante (nämlich$k^2$) über alle vier Punkte hinweg, was dies impliziert$\bigcirc O$muss einer der durch die Linien bestimmten "Ortskreise" sein. Diese Summe muss dann auch über die Eckpunkte konstant sein$\square WXYZ$, da diese Scheitelpunkte auf diesem Ortskreis liegen; insbesondere die Beträge für$W$Und$X$allein sollte passen. Allerdings, weil$W$Auf einer Winkelhalbierenden liegt die Summe der Quadrate der Abstände aus$W$zu beiden Linien ist nur das Doppelte des Quadrats der Entfernung zu jeder Linie; ebenso für$X$. Wir schließen daraus, dass die Entfernungen von jedem der$W$Und$X$zu jedem$\ell_1$Und$\ell_2$ alle übereinstimmen, wodurch eine der Linien parallel zum Segment wird$\overline{WX}$und die andere Linie die senkrechte Winkelhalbierende dieses Segments.$\square$

Lassen$l_1$gegeben werden von$a_1x+b_1y+c_1=0$Und$l_1$gegeben werden von$a_2x+b_2y+c_2=0$.

Lassen$P$der Punkt sein$(h,k)$Und$d_j$sei der Abstand des Punktes$P$von Linie$l_j$. Dann,

$$d_1=\frac{|a_1h+b_1k+c_1|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}} \quad \text{ and } \quad d_2=\frac{|a_2h+b_2k+c_2|}{\sqrt{a_2^2+b_2^2}}$$

Wir sind gegeben, dass der Ort der Punkte für die$d_1^2+d_2^2=s$(Wo$s$eine Konstante ist) ist ein Kreis. Lassen$\lambda_1=a_1^2+b_1^2$Und$\lambda_2=a_2^2+b_2^2$. Beachten Sie das

$$d_1^2+d_2^2=\left(\frac{\lambda_2a_1^2+\lambda_1a_2^2}{\lambda_1 \lambda_2}\right)h^2+\left(\frac{\lambda_2b_1^2+\lambda_1b_2^2}{\lambda_1 \lambda_2}\right)k^2+\left(\frac{2a_1b_1}{\lambda_1}+\frac{2a_2b_2}{\lambda_2}\right)hk+\dotsb$$ Damit dies ein Kreis ist,

1. Koeffizient von$hk$muss sein$0$, Und
2. Koeffizienten von$h$Und$k$sollte gleich sein.

So haben wir

$$\begin{align*} \lambda_2a_1^2+\lambda_1a_2^2 & = \lambda_2b_1^2+\lambda_1b_2^2\\ a_1b_1\lambda_2+a_2b_2\lambda_1 & = 0 \end{align*}$$

Wenn wir dies lösen, erhalten wir

$$(a_1a_2)^2 = (b_1b_2)^2 \implies a_1a_2 = \pm b_1b_2.$$

Versuchen Sie herauszufinden, warum$a_1a_2=b_1b_2$wird nicht passieren. Dann bleibt nur noch$a_1a_2+b_1b_2=0$was die Bedingung für die Rechtwinkligkeit von ist$l_1$Und$l_2$.