Definieren die Tangenten zweier Kreise konzentrische Kreise?

Bei zwei nicht überlappenden Kreisen, R 1 Und R 2 . Die Radien von R 1 Und R 2 kann anders sein. Der Abstand zwischen den Zentren von R 1 Und R 2 ist definiert als X .

Zeichnen Sie die vier Tangenten dazwischen R 1 Und R 2 . Es gibt zwei Tangenten, die sich kreuzen R 1 Und R 2 und zwei Tangenten, die sich nicht kreuzen R 1 Und R 2 . Nennen Sie die beiden Tangenten, die innere Tangenten schneiden, und die beiden Tangenten, die äußere Tangenten nicht schneiden.

Ich behaupte, dass es zwei konzentrische Kreise gibt, die gezeichnet werden können, C 1 Und C 2 . C 1 wird die vier Tangentenpunkte der inneren Tangenten auf seinem Umfang haben und C 2 wird die vier Tangentenpunkte der äußeren Tangenten auf seinem Umfang haben.

Ich erinnere mich, dass ich dieses Problem mit High-School-Geometrie, grundlegender Algebra und etwas Trig gelöst habe, aber das war vorbei 20 Jahre zuvor.

Ist meine Behauptung richtig? Wenn ja, was ist die Lösung?

Ich erinnere mich vage, dass ein wichtiger Punkt darin bestand, dass Radien, die sich an Tangentenpunkten schneiden, senkrecht zur Tangentenlinie sind.

Antworten (1)

Bei ungleichen Radien entspricht er den Mittelsenkrechten aller inneren und äußeren Tangentensegmente, die sich in einem Punkt schneiden. Aufgrund der Symmetrie würde dieser Punkt auf der Linie der Mittelpunkte liegen und man braucht ihn nur auf ein inneres und ein äußeres Segment zu prüfen. Tatsächlich scheint der Punkt der Mittelpunkt des Liniensegments zu sein, das die Mittelpunkte verbindet, und wenn Sie einmal beobachtet haben, dass dies leicht zu beweisen ist, weil die Mittelsenkrechte parallel zu den Radien ist, die die Mittelpunkte mit den Tangentenpunkten verbinden, und auf halbem Weg dazwischen die beiden Linien, die diese Radien verlängern. Dieses Argument gilt auch bei gleichen Radien.

Ich verstehe, wie die Mittelsenkrechten der Tangenten Kreise bilden. Was ich anscheinend nicht beweisen kann, ist, wie die beiden Kreise kozentrisch sind. Ich sehe, dass Akkorde zwischen Tangentenpunkten dieselbe senkrechte Halbierende haben und eine senkrechte Halbierende durch den Mittelpunkt eines Kreises geht, aber ich kann anscheinend nicht zeigen, wie beide Mittelpunkte derselbe Punkt sind.
Ich habe es herausgefunden. Meine Lösung besteht darin, ein Trapez mit einer äußeren Tangente, einem Radius von jedem Kreis und dem Liniensegment zu konstruieren, das die Mittelpunkte verbindet. Die senkrechte Winkelhalbierende der Tangente teilt auch das Liniensegment, das die Mittelpunkte verbindet, in zwei Hälften. Nehmen Sie eine innere Tangente, einen Radius von jedem Kreis und das Liniensegment, das die Mittelpunkte verbindet. Erweitern Sie einen der Radien in kolinearer Richtung auf der gegenüberliegenden Seite der Mittellinie. Ein neues Trapez wird mit einer Tangente gegenüber der Mittellinie gebildet. Die Mittelsenkrechte teilt die Mittellinie. Beide Kreise haben den gleichen Mittelpunkt.
Bei allen Tangentialsegmenten sind die Radien (die Segmente, die den Mittelpunkt mit den Tangentialpunkten verbinden) und die Mittelsenkrechte des Tangentialsegments alle senkrecht zur Tangentenlinie, sodass die Mittelsenkrechte parallel zu den Radien ist. In der Familie aller Linien parallel zu den Radien dient der Abstand entlang einer beliebigen Linie quer zur Familie als Koordinate. In jeder solchen Koordinate (hier verwenden wir die von der Mittelpunktslinie) liegt die senkrechte Winkelhalbierende auf halbem Weg zwischen den radialen Linien und geht daher durch den Mittelpunkt der Mittelpunktslinie.
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