Paarweise sich schneidende Kreise R,G,BR,G,BR,G,B haben gleichzeitige gemeinsame Akkorde?

Die Gleichungen der drei Kreise sind

$(x - x_1)^2 + (y - y_1)^2 = r_1^2 \hspace{30pt}(1)$

$(x - x_2)^2 + (y - y_2)^2 = r_2^2 \hspace{30pt}(2)$

$(x - x_3)^2 + (y - y_3)^2 = r_3^2 \hspace{30pt}(3)$

Schnittpunkt$(1)$mit$(2)$, liegen die Schnittpunkte auf der Geraden

$- 2 x (x_1 - x_2) - 2 y (y_1 - y_2) = r_1 ^2 - r_2 ^ 2 \hspace{30pt}(4)$

Schnittpunkt$(1)$mit$(3)$, liegen die Schnittpunkte auf der Geraden

$- 2 x (x_1 - x_3) - 2 y( y_1 - y_3) = r_1^2 - r_3^2 \hspace{30pt} (5)$

Und schließlich überschneidet$(2)$mit$(3)$, liegen die Schnittpunkte auf der Geraden

$- 2 x (x_2 - x_3) - 2 y (y_2 - y_3) = r_2 ^ 2 - r_3 ^ 2 \hspace{30pt}(6)$

Wenn$(x, y)$erfüllt$(4)$Und$(5)$es muss befriedigen$(6)$. Dies kann durch Subtrahieren der Gleichung gesehen werden$(4)$aus$(5)$.

Daher treffen sich die drei Liniensegmente immer an einem einzigen Punkt.

Forderung$p$der Schnittpunkt von$uw$Und$xy$. Die Linie$zp$schneidet$G$In$s_1$Und$B$In$s_2$.

Unter Verwendung des Satzes über sich überschneidende Akkorde haben wir

$$\begin{align} pz\cdot ps_1 & = px\cdot py &\text {(power of $p$ in $G$)} \\ & = pu\cdot pw &\text {(power of $p$ in $R$)} \\ & = pz\cdot ps_2 &\text {(power of $p$ in $B$)} \\ \end{align}$$

Dann$ps_1=ps_2$und daher$s_1=s_2=s$