Maximieren eines Winkels basierend auf bestimmten Einschränkungen

Das ist gegeben$a, b \gt 0$also beides$A$Und$B$befinden sich auf der gleichen Seite der x-Achse. Der erste Punkt, der zu beachten ist, ist das$\triangle ABC$ist stumpf und$\angle ACB$ist akut. Jetzt verwenden wir die Beziehung$AB = 2 R \sin C$Wo$R$ist der Umkreis von$\triangle ABC$. Als$AB$fest ist, maximieren wir$\angle C$wenn wir minimieren$R$gegeben$\sin$Funktion ist streng zunehmend für$\left(0, \frac{\pi}{2} \right)$.

Beachte das auch$O$muss auf der Mittelsenkrechten von liegen$AB$die parallel zur x-Achse ist. So,$R = OC$ist minimal, wenn$OC$ist senkrecht zur x-Achse.

Lassen$\omega$sei der Umkreis von$\triangle ABC$Wo$C$ist ein Punkt auf der$x$-Achse so dass$\angle ACB$ist maximal. Annehmen$\omega$schneidet die$x$-Achse zweimal, bei$C$Und$D$.

Lassen$F$ein beliebiger Punkt auf dem Bogen sein${CD}$(nicht enthalten$A, B$) und definieren$E$als Schnittpunkt von$AF$Und$x$-Achse. Beobachten,

Daher die Annahme, dass$\omega$schneidet die$x$-axis zweimal ist falsch, was impliziert$\omega$ist eine Tangente an die$x$-Achse bei$C$.

Lassen$\bigcirc K$durch$A$Und$B$Tangente an die sein$x$-Achse bei$D$. Für$C$auf der$x$-Achse (und auf der gleichen Seite der$y$-Achse als$D$), lassen$A'$Und$B'$werden die "anderen" Punkte wo$\overleftrightarrow{AC}$Und$\overleftrightarrow{BC}$Treffen Sie diesen Kreis.

Eine logische Folge des Satzes über den einbeschriebenen Winkel besagt, dass wir schreiben können

Wir nutzen die Tatsache, dass if$A$Und$B$auf einem bestimmten Kreis sind, dann, wenn Sie haben$C$auf dem Kreis u$C_0$(ausschließlich) innerhalb des Kreises (und$C$,$C_0$befinden sich auf der gleichen Seite$\overline{AB}$)

Sie können dies sehen, indem Sie erweitern$AC_0$zum Kreis um$C'_0$, in welchem ​​Fall$\angle AC_0B > \angle AC'_0B$, aber wegen des einbeschriebenen Winkelsatzes$\angle AC'_0B = \angle ACB$.

Schreiben Sie nun den gewünschten Winkel auf$\angle ACB$als$f(x)$bezüglich$x$; wir wollen maximieren$f(x)$.

Der Umkreis von$\triangle ABC$schneidet immer die$x$-Achse bei$C = (x_0, 0)$. Sagen Sie jetzt zum Widerspruch das$f(x_0)$maximal ist, und dass der Umkreis von$\triangle ABC$schneidet auch die$x$-Achse bei$C' = (x_0', 0) \neq C$. Dann der Mittelpunkt$M$von$\overline{CC'}$ist innerhalb des Kreises, also$\angle AMB > \angle ACB$; Und$M = \left(\frac{x_0 + x'_0}{2}, 0 \right)$ist auf$x$-Achse, also

Also der Umkreis von$\triangle ABC$muss die schneiden$x$-Achse an genau einem Punkt.

Es gibt zwei Betrachtungsweisen.

Kreise wie solche, die durch nicht rote Seiten gehen, die sich auf der x-Achse bei D, E treffen, bilden denselben Winkel von Segment AB (Winkel in einem Segment sind gleich). Damit es einen eindeutigen Punkt gibt, sollten diese Punkte zusammengezogen werden, um sie zu einem wiederholten Punkt zu machen. Ein wiederholter Punkt ist tatsächlich ein Tangentialpunkt bei C.

Durch die Eigenschaft des Kreises, dass das Produkt der Segmente konstant ist (dies ist die Kraft des Kreises ), haben wir

Der nächste Weg ist die direkte Bestätigung mit Differentialrechnung, Maxima/Minima.

Der "Blickwinkel" oder unterlegte Winkel ist

Differenzieren bzgl$x$Arctan und Kettenregel

Vereinfacht erhalten wir das gleiche Ergebnis wie (1).

Eine andere Möglichkeit, es mit Analysis und Geometrie zu lösen, besteht darin, dies zu bemerken$\angle C=\frac{\pi}{2}-(\angle ACO+\angle CBO)$(Wo$O$ist der Ursprung). Minimierung$\angle ACO+\angle CBO$ist gleichbedeutend mit Minimierung$\tan \angle ACO+\tan \angle CBO=\frac{a}{x}+\frac{x}{b}$was leicht zu unterscheiden ist.