Sei ABCDABCDABCD ein zyklisches konvexes Viereck mit AD+BC=ABAD+BC=ABAD + BC = AB. Beweisen Sie, dass sich die Winkelhalbierenden der Winkel ADCADCADC und BCDBCDBCD auf der Geraden ABABAB treffen.

Sei Winkelhalbierende für$\angle BCD$treffen$AB$bei$F$(Also müssen wir das beweisen$DF$Winkelhalbierende für ist$\angle ADC$), Dann

$$\angle BCF = FCD = \alpha\;\;\;\;{\rm and }\;\;\;\;\;\angle BAD = 180^{\circ} -2\alpha$$ und lass$E$An$AB$so sein$BE = BC$, Dann$AE = AD$Und $$\angle FED = \angle AED = \angle ADE = \alpha$$ So$\angle FED = \angle FCD = \alpha$und somit$CDFE$ist zyklisch!

Nun, wenn$\angle FDC = \beta$Dann$\angle BEC = \angle ECB = \beta$, So

$$\angle 180^{\circ} -2\beta \implies \angle ADC = 2\beta$$ und somit$DF$ist aber auch Winkelhalbierende$\angle ADC$und wir sind fertig.

Lassen$\angle D=2\delta$Und$\angle C=2\gamma$, und wlog annehmen$\delta\geqslant \gamma$(um mit Ihrem Bild übereinzustimmen). Dann$\angle A=180^\circ-2\gamma$Und$\angle B=180^\circ-2\delta$. Bezeichne mit$M$der Punkt an$AB$so dass$AM=AD$, So$BM=BC$sowie. Dann$\angle ADM=\angle AMD=\gamma$Und$\angle BMC=\angle BCM=\delta$.

Bezeichne mit$N$der Schnittpunkt von$AB$und die Winkelhalbierende von$\angle D$; seit$\delta\geqslant\gamma$wir haben$\mathcal B(A,M,N,B)$, Und$\angle MDN=\delta-\gamma$. Seit$\angle NMC=\angle BMC=\delta$Und$\angle NDC=\delta$wir bekommen das$NCDM$ist zyklisch, also$\angle MCN=\angle MDN=\delta-\gamma$. Jetzt,$\angle BCN= \angle BCM-\angle NCM= \delta-(\delta-\gamma)= \gamma$, was bedeutet, dass$N$liegt auf der Halbierenden von$\angle C$.