Finden Sie ∠CAD∠CAD\Winkel CAD in der folgenden Abbildung.

Question

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Winkel
Geometrie
Dreiecke
Mathematik
Trigonometrie
Euklidische Geometrie

Divya Prakash Sinha

In $\triangle ABC$ , $\angle ACB =20°$ Und $\angle CAB = \angle CBA=80°$

$D$ ist ein Punkt auf $CB$ so dass $CD=AB$

Finden $\angle CAD$

ich nahm an $\angle CAD=\theta$ Und $AB=CD=x$

Anwendung des Sinussatzes in $\triangle CAD$ Und $\triangle ABD$

\frac{X}{Sünde θ} = \frac{A D}{Sünde 20^{\circ}}

$\frac {x} {\sin\theta}=\frac {AD} {\sin 20^\circ}$

\frac{X}{Sünde (θ + 20 °)} = \frac{A D}{Sünde 80^{\circ}}

$\frac {x} {\sin(\theta+20°)}=\frac {AD} {\sin 80^\circ}$

So,

\frac{Sünde (θ + 20)}{Sünde θ} = \frac{Sünde 80^{\circ}}{Sünde 20^{\circ}} = \frac{1}{2 Sünde 10^{\circ}}

$\frac {\sin(\theta+20)} {\sin\theta}=\frac {\sin 80^\circ} {\sin 20^\circ}=\frac {1} {2\sin 10^\circ}$

Ich glaube nicht, dass diese Gleichung für $\theta$ kann ohne Taschenrechner gelöst werden. Wenn jemand es lösen kann, zeigen Sie mir bitte die Methode. (Bitte nicht raten.)

Wenn nicht lösbar, dann geben Sie mir bitte eine andere Lösung. (Wenn die Lösung rein geometrisch ist und Konstruktion enthält, dann teilen Sie mir bitte auch Ihre Intuition hinter Ihrer Konstruktion mit.)

Divya Prakash Sinha

Bitte teilen Sie mit, ob das Bild geöffnet werden kann.

ETS1331

Das Bild sagt "Zugriff verweigert" Bearbeiten: Ich kann immer noch nicht darauf zugreifen.

Divya Prakash Sinha

Kannst du es jetzt sehen?

Imranfett

Ich verstehe es nicht. Wenn D auf Segment AC liegt und Sie nach dem Winkel CAD fragen? Diese Punkte sind kollinear. Übersehe ich etwas?

Intelligente pauca

Sehen Sie sich die Lösungen hier an: cut-the-knot.org/triangle/80-80-20/IndexToLong.shtml

Divya Prakash Sinha

Lieber Aretino, danke für diesen Link, aber ich brauche etwas anderes als eine Lösung.

Andrej

Wenn du schreibst

\frac{1}{2}

$\frac 12$ als

\sin 30^{\circ} = \sin (10^{\circ} + 20^{\circ}

$\sin 30^\circ=\sin(10^\circ+20^\circ$ , alles, was Sie zeigen müssen, ist das

θ = 10^{\circ}

$\theta=10^\circ$ ist einzigartige Lösung.

Antworten (2)

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Ich verstehe es nicht. Wenn D auf Segment AC liegt und Sie nach dem Winkel CAD fragen? Diese Punkte sind kollinear. Übersehe ich etwas?
Sehen Sie sich die Lösungen hier an: cut-the-knot.org/triangle/80-80-20/IndexToLong.shtml
Lieber Aretino, danke für diesen Link, aber ich brauche etwas anderes als eine Lösung.
Wenn du schreibst $\frac 12$ als $\sin 30^\circ=\sin(10^\circ+20^\circ$ , alles, was Sie zeigen müssen, ist das $\theta=10^\circ$ ist einzigartige Lösung.

Quanto · Answer 1

Fahren Sie fort, indem Sie die Gleichung lösen

\frac{Sünde (θ + 20^{\circ})}{Sünde θ} = \frac{1}{2 Sünde 10^{\circ}} .

$\frac {\sin(\theta+20^\circ)} {\sin\theta}=\frac {1} {2\sin 10^\circ}.$

folgendermaßen

\begin{aligned} Kinderbett θ & = \frac{1}{2 Sünde 10^{\circ} Sünde 20^{\circ}} - Kinderbett 20^{\circ} = \frac{Sünde (10^{\circ} + 20^{\circ})}{Sünde 10^{\circ} Sünde 20^{\circ}} - Kinderbett 20^{\circ} = Kinderbett 10^{\circ} \end{aligned}

$\begin{align} \cot \theta & = \frac1{2\sin 10^\circ\sin 20^\circ}-\cot 20^\circ = \frac{\sin(10^\circ+ 20^\circ)}{\sin 10^\circ\sin 20^\circ}-\cot 20^\circ =\cot 10^\circ \end{align}$

Daher, $\theta = 10^\circ$ .

Albert Chan · Answer 2

Lassen $a=AB, b=BD, \alpha=∠BDA, \beta=∠BAD$
$b = CB - CD = {a/2 \over \sin(10°)} - a$

Für ΔABD haben wir jetzt SAS und verwenden das Gesetz der Tangenten :

\frac{A + B}{A - B} = \frac{bräunen \frac{a + β}{2}}{bräunen \frac{a - β}{2}}

${a+b \over a-b} = {\tan{\alpha+\beta \over 2} \over \tan{\alpha-\beta \over 2}}$

\frac{1}{4 Sünde (10 °) - 1} = \frac{bräunen 50 °}{bräunen \frac{a - β}{2}}

${1 \over 4\sin(10°)-1} = {\tan{50°} \over \tan{\alpha-\beta \over 2}}$

\begin{aligned} \tan \frac{α - β}{2} & = (4 \sin (10 °) - 1) \tan (50 °) \\ = \frac{4 \sin (10 °) \sin (50 °) - \sin (50 °)}{\cos (50 °)} \\ = \frac{2 \cos (40 °) - 2 \cos (60 °) - \cos (40 °)}{\sin (40 °)} \\ = \frac{\cos (40 °) - 1}{\sin (40 °)} \\ = \frac{- 2 \sin^{2} (20 °)}{2 \sin (20 °) \cos (20 °)} \\ = \tan (- 20 °) \end{aligned}

$\begin{align} \tan{\alpha-\beta \over 2} &= (4\sin(10°)-1) \tan(50°) \cr &= {4\sin(10°)\sin(50°) - \sin(50°) \over \cos(50°) }\cr &= {2\cos(40°) - 2\cos(60°) - \cos(40°) \over \sin(40°)}\cr &= {\cos(40°) - 1 \over \sin(40°)}\cr &= {-2\sin^2(20°) \over 2\sin(20°)\cos(20°)}\cr &= \tan(-20°) \end{align}$

β = \frac{a + β}{2} - \frac{a - β}{2} = 50 ° + 20 ° = 70 °

$\beta = {\alpha+\beta \over 2} - {\alpha-\beta \over 2} = 50° + 20° = 70°$

∠ C A D = ∠ C A B - β = 80 ° - 70 ° = 10 °

$∠CAD = ∠CAB - \beta = 80° - 70° = 10°$

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Divya Prakash Sinha

Divya Prakash Sinha

ETS1331

Divya Prakash Sinha

Imranfett

Intelligente pauca

Divya Prakash Sinha

Andrej

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Quanto

Albert Chan

Maximieren eines Winkels basierend auf bestimmten Einschränkungen

Was ist das Maß ∠C∠C\Winkel C aus diesem folgenden Dreiecksproblem?

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