Ort des Mittelpunkts des Kreises mit Radius aaa, der immer die Koordinatenachsen schneidet

Auch seit dem Punkt$(x_0,y_0,z_0)$liegt im Flugzeug$\dfrac{x}{x_1}+\dfrac{y}{y_1}+\dfrac{z}{z_1}=0$,

$\dfrac{x_0}{x_1}+\dfrac{y_0}{y_1}+\dfrac{z_0}{z_1}=0..................(2)$

Das ist nicht richtig. Es sollte sein

$$\dfrac{x_0}{x_1}+\dfrac{y_0}{y_1}+\dfrac{z_0}{z_1}=\color{red}{1}\tag2$$

Aus$(1)$, subtrahieren

$$x_0^2+(y_0-y_1)^2+z_0^2=a^2$$ aus $$(x_0-x_1)^2+y_0^2+z_0^2=a^2\tag3$$ gibt $$x_1^2-2x_0x_1+2y_0y_1-y_1^2=0\implies x_1=x_0\pm\sqrt{x_0^2-2y_0y_1+y_1^2}\tag4$$ Auch subtrahieren $$x_0^2+(y_0-y_1)^2+z_0^2=a^2$$ aus $$x_0^2+y_0^2+(z_0-z_1)^2=a^2$$ gibt $$-y_1^2+2y_0y_1-2z_0z_1+z_1^2=0\implies z_1=z_0\pm\sqrt{z_0^2-2y_0y_1+y_1^2}\tag5$$ Dann mit$(3)(4)(5)$ $$y_1^2-2y_0y_1+x_0^2+y_0^2+z_0^2-a^2=0\implies y_1=y_0\pm\sqrt{a^2-x_0^2-z_0^2}$$ und so ab$(4)(5)$

$$x_1=x_0\pm\sqrt{a^2-y_0^2-z_0^2},\quad z_1=z_0\pm\sqrt{a^2-x_0^2-y_0^2}$$

Endlich ab$(2)$,

$$\dfrac{x_0}{x_0\pm\sqrt{a^2-y_0^2-z_0^2}}+\dfrac{y_0}{y_0\pm\sqrt{a^2-x_0^2-z_0^2}}+\dfrac{z_0}{z_0\pm\sqrt{a^2-x_0^2-y_0^2}}=1$$ $$\dfrac{x_0\left(x_0\mp\sqrt{a^2-y_0^2-z_0^2}\right)}{x_0^2+y_0^2+z_0^2-a^2}+\dfrac{y_0\left(y_0\mp\sqrt{a^2-x_0^2-z_0^2}\right)}{x_0^2+y_0^2+z_0^2-a^2}+\dfrac{z_0\left(z_0\mp\sqrt{a^2-x_0^2-y_0^2}\right)}{x_0^2+y_0^2+z_0^2-a^2}=1$$

$$\small x_0\left(x_0\mp\sqrt{a^2-y_0^2-z_0^2}\right)+y_0\left(y_0\mp\sqrt{a^2-x_0^2-z_0^2}\right)+z_0\left(z_0\mp\sqrt{a^2-x_0^2-y_0^2}\right)=x_0^2+y_0^2+z_0^2-a^2$$

$$\small x_0^2\mp x_0\sqrt{a^2-y_0^2-z_0^2}+y_0^2\mp y_0\sqrt{a^2-x_0^2-z_0^2}+z_0^2\mp z_0\sqrt{a^2-x_0^2-y_0^2}=x_0^2+y_0^2+z_0^2-a^2$$ $$\pm x_0\sqrt{a^2-y_0^2-z_0^2}\pm y_0\sqrt{a^2-x_0^2-z_0^2}\pm z_0\sqrt{a^2-x_0^2-y_0^2}=a^2$$ wie gewünscht.

(Ich denke, dass

$$x_0\sqrt{a^2-y_0^2-z_0^2}+y_0\sqrt{a^2-z_0^2-x_0^2}+z_0\sqrt{a^2-x_0^2-y_0^2}=a^2$$ hält nicht immer. Nehmen Sie zum Beispiel$x_0=-1, y_0=z_0=0, x_1=y_1=z_1=0, a=1$.)