Wahrscheinlichkeit, ein stumpfes Dreieck zu erhalten, wenn drei Punkte auf einem Kreis ausgewählt werden.

Die Nummer$576\choose 2$ergibt sich aus der Anzahl der Möglichkeiten, die anderen beiden Ecken des stumpfwinkligen Dreiecks zu wählen, sobald Sie die Ecke mit dem stumpfen Winkel gewählt haben.

Beschriften Sie alle Punkte mit dem für Ihren stumpfen Winkel ausgewählten Punkt mit Zahlen$-576$Zu$576$, zB im Uhrzeigersinn, so dass Ihr gewählter Punkt als gekennzeichnet ist$0$. Wir müssen zwei davon auswählen - einen auf jeder Seite des angegebenen Punktes$0$(dh ein negatives und ein positives), so dass der Winkel tatsächlich stumpf ist. Das bedeutet, dass der „Abstand“ des zweiten und des dritten Punktes maximal ist$576$.

Das sieht man, wenn man abholt$-576$, haben Sie für den dritten Punkt überhaupt keine Wahl (da Sie nicht wählen können$0$wieder, und jeder positive Punkt ist "weiter entfernt"). Wenn Sie auswählen$-575$du kannst nur auswählen$1$. Wenn Sie auswählen$-574$, können Sie auch auswählen$1$oder$2$usw. bis, wenn Sie abholen$-1$, können Sie einen der Punkte auswählen$1,2,3,\ldots,575$.

Die Gesamtzahl der Möglichkeiten, die "anderen" zwei Punkte auszuwählen, ist also$1+2+3+\ldots+575={576\choose 2}$.

Ich schlage vor, Sie testen diese Logik an etwas Einfacherem, dh anstelle von$1153$Punkte Wählen Sie eine kleine ungerade Anzahl von Punkten (z$5$oder$7$) und überzeugen Sie sich selbst, dass die gleiche Logik funktioniert. Bsp für$5$Punkte gibt es nur eine Möglichkeit, die anderen beiden Punkte zu wählen, z$7$Punkte gibt es$1+2=3$Wege usw.

Update : Ich kann aus der Antwort von @ Golden_Ratio ersehen, dass der Wert$576\choose 2$springt direkt heraus, wenn wir anstelle des stumpfwinkligen Scheitelpunkts den spitzwinkligen Scheitelpunkt wählen (den ersten in, sagen wir, im Uhrzeigersinn, Reihenfolge). Trotzdem werde ich diese Antwort als möglicherweise andere (mit Sicherheit weniger effiziente!) Lösung behalten.

Das Dreieck wird stumpf, wenn alle drei Eckpunkte innerhalb derselben Hälfte des Kreises liegen. Wir können immer einen Scheitelpunkt als "Start" eines Halbkreises bezeichnen, der sich im Uhrzeigersinn bewegt. Wählen Sie einen Punkt als Scheitelpunkt am Anfang dieses Halbkreises; es gibt$1153 \choose 1$Möglichkeiten, diesen Punkt zu wählen. Es verbleiben 1152 Punkte, von denen die Hälfte für die anderen beiden Punkte auf der gleichen Hälfte wie der erste Punkt im Uhrzeigersinn geeignet ist; also gibt es${1152/2 \choose 2}={576 \choose 2}$Möglichkeiten, die anderen beiden Scheitelpunkte zu wählen.

Winkel, der von benachbarten Punkten in der Mitte begrenzt wird =$2\pi/1153$

Punkte markieren lassen$1, 2, .. 1153$.

Lassen Sie uns auswählen$1$als erster Punkt. Wir können nicht beide verbleibenden Punkte aus dem Satz auswählen$289,290,... 865$. Das lässt uns mit$576$Punkte, um die beiden auszuwählen.

Man könnte argumentieren, warum es notwendig ist, beide Punkte aus der Menge auszuwählen$289, 290, .. 865$. Wir können uns einfach einen aussuchen. Aber dieses Szenario wird bei einem Punkt in diesem Set enthalten sein$289, ... 865$ist der Scheitelpunkt (oder der erste Punkt). Wir zählen also nicht doppelt.