Kreis, der drei tangentiale Kreise berührt

hier meine nette antwort:

lassen$C$Sei der Mittelpunkt des eingeschlossenen Kreises dann sein Radius$r$ist durch die festgelegte Formel von HC Rajpoot gegeben

$$r=\frac{abc}{2\sqrt{abc(a+b+c)}+ab+bc+ca}$$ Wo, $a=1, b=2, c=3$sind dann Radien von drei sich äußerlich berührenden Kreisen $$r=\frac{1\times2\times 3}{2\sqrt{1\times 2\times 3(1+2+3)}+1\times 2+2\times 3+3\times 1}=\frac{6}{23}$$ Lassen Sie jetzt eine Senkrechte fallen $CN$der Länge $y$von der Mitte $C$auf die x-Achse, um ein rechtwinkliges Dreieck zu erhalten $C_1NC$in welcher Hypotenuse $C_1C=1+\frac6{23}=\frac{29}{23}$. Pythagoreisch anwenden $$C_1N=\sqrt{(C_1C)^2-(CN)^2}=\sqrt{\left(\frac{29}{23}\right)^2-y^2}\ \ \ \ ..........(1)$$ ebenso im rechtwinkligen Dreieck $CNC_2$in welcher Hypotenuse
$C_2C=2+\frac6{23}=\frac{52}{23}$. Pythagoreisch anwenden $$NC_2=\sqrt{(C_2C)^2-(CN)^2}=\sqrt{\left(\frac{52}{23}\right)^2-y^2}\ \ \ \ ........(2)$$ seit, Kreis $C_1$& $C_2$berühren sich daher, $$C_1N+NC_2=C_1C_2=1+2=3$$ $$\sqrt{\left(\frac{29}{23}\right)^2-y^2}+\sqrt{\left(\frac{52}{23}\right)^2-y^2}=3$$ $$\sqrt{\frac{841}{529}-y^2}=3-\sqrt{\frac{2704}{529}-y^2}$$ Quadrate auf beiden Seiten nehmen, verstehe ich $$\sqrt{\frac{2704}{529}-y^2}=\frac{1104}{529}$$ wieder nehme ich quadrat, $$y^2=\frac{2704}{529}-\left(\frac{1104}{529}\right)^2=\frac{400}{529}$$ $$y=\frac{20}{23}$$

oben ist der korrekte Wert der Ordinate des Zentrums$C$des geschlossenen Kreises

Sie können davon ausgehen, dass das Zentrum von$C_1$ist bei$(0,0)$und das Zentrum von$C_3$ist bei$(0,4)$.

Nun, der unbekannte Punkt ist, sagen wir, bei$(x,y)$. Finden Sie es aus den Gleichungen

$$x^2 + y^2 = (1 + r)^2$$ $$x^2 + (4-y)^2 = (3 + r)^2$$ $$(3-x)^2 + y^2 = (2 + r)^2$$

Wo$r$ist der Radius des Inkreises. Sie haben 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten, sollten es von hier aus beenden können.

Korrigiert: Ich hatte ein Hirnniesen auf der RHS.

Im Beitrag von Herrn Michael Rozenberg können wir den Radius leicht ermitteln$r$cm des Kreises, den die drei Kreise einbeschreiben, die einander berühren.

$$r=\frac{6}{23}$$ Zunächst einmal wissen wir, dass die Gleichungen der Kreise mit den Radien 1 und 3 jeweils sind $$\begin{array}{l} C_1: x^{2}+y^{2}=1 \textrm{ and } C_3: (x-3)^{2}+y^{2}=4 \end{array}$$ Jetzt erweitern wir den Kreis (wie unten gezeigt)$C_1$Und$C_3$indem sie ihre Radien jeweils um vergrößern $$1+\frac{6}{23} \textrm{ and } 3+\frac{6}{23},$$

dann können die neuen Gleichungen als gefunden werden

$$\begin{array}{l} C_1’: x^{2}+y^{2}=\left(1+\frac{6}{23}\right)^2 \textrm{ and } C_3’:x^{2}+(y-4)^{2}=\left(3+\frac{6}{23}\right)^{2} \end{array}\\ $$

Dann kann die Ordinate des Mittelpunkts des eingeschriebenen kleinen Kreises leicht durch die gemeinsame Sehne (horizontale Linie) von gefunden werden$C_1’$Und$C_3’$.

$$\begin{aligned} (y-4)^{2}-y^{2} &=\left(\frac{75}{23}\right)^{2}-\left(\frac{29}{23}\right)^{2} \\ y &=\frac{20}{23} \end{aligned}$$

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Der Vollständigkeit halber erweitern wir auch$C_2$Zu$C_2’$dessen Gleichung ist

$$C_{2}^{\prime}:(x-3)^{2}+y^{2}=\left(2+\frac{6}{23}\right)^{2}.$$ Lösen$C_1’$Und$C_2’$Erträge$x=\dfrac{21}{23}$und daher sind die Koordinaten des Mittelpunkts des einbeschriebenen kleinen Kreises$\left(\dfrac{21}{23}, \dfrac{20}{23}\right)$.