Vier komplexe Zahlen auf einem Kreis oder auf einer Geraden.

Lassen Sie uns zunächst eine geometrische Interpretation der Aussage "die Winkel von$\alpha$Und$\beta$sind gleich".

Das ist ein Bild von$z_1$,$z_2$, Und$z_3$. Beachten Sie, dass$\theta_1$Und$\theta_2$stellen die Winkel von dar$z_3 - z_1$Und$z_3 - z_2$. Daher ist der Winkel von$\alpha$(welches ist$\theta_1 - \theta_2$) ist das Maß für den geometrischen Winkel$z_1z_3z_2$.

Wenn wir also das Problem in geometrischen Begriffen umformulieren, haben wir:

Angenommen, vier Punkte$A$,$B$,$C$, Und$D$in der Ebene liegen, so dass die Winkel$BCA$Und$ADB$sind gleich. Beweisen Sie, dass alle vier Punkte auf einer Geraden liegen oder auf einem gemeinsamen Kreis liegen. Umgekehrt vier Punkte gegeben$A$,$B$,$C$, Und$D$entweder auf einer Linie oder alle auf einem Kreis, beweisen, dass die Winkel$ACB$Und$ADB$sind gleich.

Wo wir die Einschränkung hinzufügen, die für die Geometrie ungewöhnlich ist - aber von der komplexen Ebene geerbt wird - das ist ein Winkel$XYZ$wird gegen den Uhrzeigersinn von gemessen$YZ$Zu$YX$. (damit das Maß des Winkels$XYZ$Ist$2\pi$Bogenmaß minus dem Maß des Winkels$ZYX$) Wir lassen auch zwei Winkel als gleich gelten, wenn sich ihre Maße um genau unterscheiden$\pi$Radiant, um die Idee widerzuspiegeln, dass$z$Und$-z$gleichen Winkel haben.

Lassen Sie uns zuerst die Richtung "auf einer Linie oder einem Kreis impliziert gleiche Winkel" angehen. Wenn nun die vier Punkte auf einer Linie liegen, dann natürlich die Winkel$BCA=ACB$Und$ADB$sind gleich (da sie beide sind$0$Radiant bzw$\pi$Radiant).

Liegen die vier Punkte auf einem Kreis, dann gilt:

Das zeigt$A$,$B$, Und$C$alle auf einem Kreis und zwei verschiedene Möglichkeiten für den Punkt$D$: Entweder liegt es auf der gleichen Seite der Linie$\overline{AB}$als Punkt$C$(Fall$D_2$) oder es liegt auf der gegenüberliegenden Seite. (Fall$D_1$)

Nach dem Zentralwinkelsatz gilt$\theta_1 = {1 \over 2} \phi = \theta_2$, also wenn$D$ist im Fall$D_2$wir haben die Winkel gleich. Wenn$D$ist im Fall$D_2$, wir haben das

$$\begin{align} 2\pi - \theta_3 &= {1 \over 2} (2\pi - \phi) \\ &= \pi - {1 \over 2} \phi \\ &= \pi - \theta_1 \end{align}$$

Und deshalb$\theta_3 = \theta_1 + \pi$. (was wir als gleich betrachten würden)

Nehmen Sie für die andere Richtung zunächst den Fall an, dass beide Winkel gleich sind$0$oder$\pi$. Wenn dem so ist, dann$C$Und$D$müssen beide Linie online sein$\overline{AB}$und wir sind fertig. (das entspricht$\alpha$Und$\beta$beide sind reelle Zahlen)

Nun, wenn wir einen anderen Winkelwert haben, dann$A$,$B$, Und$C$liegen nicht alle auf einer Linie, und daher gibt es einen eindeutigen Kreis$O_1$enthält$A$,$B$, Und$C$. Ebenso gibt es einen eindeutigen Kreis, der Punkte enthält$A$,$B$, Und$D$. Da der zentrale Winkel$AO_1B$gleich dem Zentriwinkel ist$AO_2B$(beide haben den doppelten Winkel$ACB$), die Radien der beiden Kreise sind identisch, und von da an ist es nur ein bisschen Fallanalyse (wobei der Fall genommen wird$C$Und$D$befinden sich auf der gleichen Seite$\overline{AB}$oder auf gegenüberliegenden Seiten, und ob die Maßnahmen von$ACB$Und$ADB$wirklich gleich sind oder durch sind$\pi$Radianten), um zu zeigen, dass beide Kreise identisch sind.

Ich weiß nicht, ob Sie das als Beweis ansehen würden, aber hier ist die Idee:

Winkel, die auf einem Kreis von demselben Bogen auf derselben Seite begrenzt werden, sind gleich. Da auch die Umkehrung gilt, wenn$z_3$Und$z_4$liegen nirgendwo auf der Verbindungslinie$z_1$Und$z_2$, dh$\alpha$Und$\beta$sind also nicht rein real$z_1$,$z_2$,$z_3$Und$z_4$auf einem Kreis liegen.

Wenn$\alpha =\frac{z_3-z_1}{z_3-z_2}$Und$\beta= \frac{z_4-z_1}{z_4-z_2}$sind also beide rein real$z_3$Und$z_4$liegen auf der Verbindungslinie$z_1$Und$z_2$.

Kombiniert man dies mit der Tatsache, dass$\frac{\alpha}{\beta} \in \Bbb{R}$löst auch das in Übung 8 gestellte Problem, denke ich.