Gibt es einen einfachen Beweis dafür, dass das Dreieck, das durch die Schwerpunkte der Napoleon-Dreiecke gebildet wird, gleichseitig ist?

Question

Gibt es einen einfachen Beweis dafür, dass das Dreieck, das durch die Schwerpunkte der Napoleon-Dreiecke gebildet wird, gleichseitig ist?

Geometrie
Mathematik
komplexe Zahlen

Kang

Das Problem kam von Needhams Visual Complex-Analyse, also habe ich komplexe Zahlen verwendet. Der Aufbau besteht aus gleichseitigen Dreiecken, die auf den Seiten eines beliebigen Dreiecks gezeichnet werden. Ich habe gezeigt, dass der Schwerpunkt des Dreiecks, das durch die Schwerpunkte der gleichseitigen Dreiecke gebildet wird, der Schwerpunkt des ursprünglichen Dreiecks ist, unabhängig davon, ob die gleichseitigen Dreiecke innerhalb oder außerhalb des beliebigen Dreiecks gezeichnet werden. Ich habe eine ähnliche Methode wie bei der Antwort auf LevanDokites Frage vom 18. Oktober 12 verwendet.
Wenn die Schwerpunkte des gleichseitigen Dreiecks sind $G_1,G_2,G_3$ Ich habe versucht zu drehen $G_1$ um $G_3$ , in der Hoffnung, dass es so enden würde $G_2$ . Das tat es nicht. Ich habe verschiedene Möglichkeiten ausprobiert, komplexe Zahlen zu verwenden, um den Aufbau zu beschreiben, mit einem Scheitelpunkt des ursprünglichen Dreiecks als Ursprung oder nicht. Keine Hilfe. Ich arbeite mit sehr grundlegenden mathematischen Kenntnissen und frage mich, ob der Beweis, den ich brauche, Theoreme beinhaltet, die ich noch nicht getroffen habe. Ich weiß nicht, wie man zeigt, dass die Längen gleich sind.

Quasi

Ich denke, eine bessere Wahl des Ursprungs ist der Mittelpunkt des ursprünglichen Dreiecks. Es funktioniert (ich habe es in Maple überprüft), dass bei dieser Wahl des Ursprungs eine Drehung von

120^{\circ}

$120^\circ$ über Herkunftskarten jeweils

G_{1}, G_{2}, G_{3}

$G_1,G_2,G_3$ zum nächsten gegen den Uhrzeigersinn. Von Hand ist es umständlich, aber mit Maple ist es einfach.

Kang

Ich habe das versucht. Ahornlos Ich muss einen Fehler gemacht haben ...

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Gibt es einen einfachen Beweis dafür, dass das Dreieck, das durch die Schwerpunkte der Napoleon-Dreiecke gebildet wird, gleichseitig ist?

Ich denke, eine bessere Wahl des Ursprungs ist der Mittelpunkt des ursprünglichen Dreiecks. Es funktioniert (ich habe es in Maple überprüft), dass bei dieser Wahl des Ursprungs eine Drehung von $120^\circ$ über Herkunftskarten jeweils $G_1,G_2,G_3$ zum nächsten gegen den Uhrzeigersinn. Von Hand ist es umständlich, aber mit Maple ist es einfach.
Ich habe das versucht. Ahornlos Ich muss einen Fehler gemacht haben ...

Rohan Shinde · Answer 1

Lassen Sie das ursprüngliche Dreieck sein $ABC$ mit gleichseitigem Dreieck $ABC_1$ , $CAB_1$ , Und $BCA_1$ an seinen Seiten gebaut. Stellen Sie sich alle beteiligten Ecken als komplexe Zahlen vor. Wir wenden ein klassisches Kriterium auf die drei gleichseitigen Dreiecke an. Lassen $j$ eine geeignete Drehung durch sein $120°$ . Dann die Tatsache, dass Dreiecke $ABC_1$ , $CAB_1$ , Und $BCA_1$ sind gleichseitig kann ausgedrückt werden als

A + J B + J^{2} C_{1} = 0

$A+jB+j^2C_1=0$

C + J A + J^{2} B_{1} = 0

$C+jA+j^2B_1=0$

B + J C + J^{2} A_{1} = 0

$B+jC+j^2A_1=0$

Die Mitte von $ΔABC_1$ wird von gegeben

P = \frac{A + B + C_{1}}{3}

$P=\frac{A+B+C_1}{3}$ , und ähnlich für Zentren

Q

$Q$ Und

R

$R$ von Dreiecken

C A B_{1}

$CAB_1$ Und

B C A_{1} : Q = \frac{C + A + B_{1}}{3}

$BCA_1: Q=\frac{C+A+B_1}{3}$ Und

R = \frac{B + C + A_{1}}{3}

$R=\frac{B+C+A_1}{3}$ . Das wollen wir zeigen

P + j Q + j^{2} R = 0

$P+jQ+j^2R=0$ . Somit

3 (P + J Q + J^{2} R) = A + B + C_{1} + J (C + A + B_{1}) + J_{2} (B + C + A 1) = (B + J C + J^{2} A_{1}) + J (A + J B + J^{2} C_{1}) + J 2 (C + J A + J^{2} B_{1}) = 0.

$3(P+jQ+j^2R)=A+B+C_1+j(C+A+B_1)+j_2(B+C+A1)=(B+jC+j^2A_1)+j(A+jB+j^2C_1)+j2(C+jA+j^2B_1)=0.$

Ich kenne das "klassische Kriterium" nicht. Würde bitte jemand eine Referenz oder Erklärung liefern?
Siehe Link cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/Connes.shtml

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Kang

Quasi

Kang

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Rohan Shinde

Kang

Rohan Shinde

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