Äquivalenzbeweis für komplexe Zahlen

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Äquivalenzbeweis für komplexe Zahlen

Geometrie
Mathematik
komplexe Zahlen

Benutzer2103480

Ich bin über diese Übung gestolpert und kann anscheinend keine fruchtbaren Versuche haben, oder besser gesagt, ich kann fehlende Glieder nicht zusammenfügen.

Lassen $z_1, z_2, z_3$ eine andere komplexe Zahl sein, so dass $|z_1|=|z_2|=|z_3|$ . Beweisen Sie, dass diese drei Aussagen äquivalent sind:

(ich) $z_1, z_2, z_3$ sind Eckpunkte eines gleichseitigen Dreiecks: $|z_1-z_2|=|z_2-z_3|=|z_3-z_1|$

(ii) $z_1 + z_2 +z_3 = 0$

(iii) $z_1, z_2, z_3$ sind die Lösungen einer Gleichung $z^3-c=0$ , für $c \in \mathbb{C} \setminus \{0\}$

Ich weiß, dass ich beweisen muss, dass (i) $\rightarrow$ (ii), (ii) $\rightarrow$ (iii) und (iii) $\rightarrow$ (i) und für (i) $\rightarrow$ (ii), ich habe versucht zu beweisen, dass if $z_1 = re^{i\varphi}$ , Dann $z_2 = re^{i(\varphi \pm \frac{2}{3} \pi )}$ Und $z_3 = re^{i(\varphi \mp \frac{2}{3} \pi )}$ , aber ich komme nicht weiter und reine algebraische Manipulationen waren viel zu chaotisch.

Ich bin gespannt, wie eine Lösung aussehen würde, und ich würde mich über jede freuen!

3x89g2

Haben Sie es mit brutaler Gewalt versucht?

Hassan Sad

@Misakov es ist rohe Gewalt.

Benutzer2103480

Was meinst du?

Antworten (5)

Äquivalenzbeweis für komplexe Zahlen

jgon · Answer 1

Sie gehen in die richtige Richtung. Beachten Sie, dass wir zur Bereinigung der Notation definieren $\zeta=e^{2\pi i/3}$ , und wir können die Zahlen so umbenennen $z_1=re^{i\theta}$ , $z_2=re^{i\theta}\zeta=z_1\zeta$ , und ähnlich $z_3=z_2\zeta^2$ . Jetzt brauchen wir nur noch $z_1+z_2+z_3=0$ , aber das ist $z_1+z_1\zeta+z_1\zeta^2=z_1(1+\zeta+\zeta^2)$ , also müssen wir jetzt nur noch beweisen $1+\zeta+\zeta^2=0$ .

Hinweis

Was ist $\zeta(1+\zeta+\zeta^2)$ gleich?

Ich bin mir nicht sicher, wie klar dieser Hinweis ist, also nur für den Fall, hier ist ein weiterer:

Tipp 2

Wenn $x\ne 1$ , Und $xy=y$ , was ist dann $y$ ?

Bearbeiten:

Um die Frage in den Kommentaren zu beantworten, ist der geometrische Beweis in Ordnung.

Um ehrlich zu sein, habe ich versucht, einen algebraischen Beweis zu schreiben, dann wurde mir klar, dass es nicht wirklich möglich ist, einen zu führen, ohne sich irgendwann auf die Geometrie zu beziehen, da die Aussage wahr ist, dass die komplexen Zahlen eher eine Ebene bilden als ein dreidimensionaler oder vierdimensionaler Raum, in dem ein gleichseitiges Dreieck auf der Einheitskugel nicht unbedingt schön um den Ursprung zentriert sein müsste.

Seit $\zeta(1+\zeta+\zeta^2)z_1 = (1+\zeta+\zeta^2)z_1, \zeta \neq 1$ Und $z_1 \neq 0$ , $1+\zeta+\zeta^2 = 0$ . Vielen Dank! Aber wie kann ich das zeigen $z_1=re^{i\theta}$ , $z_2=re^{i\theta}\zeta$ , Und $z_3=z_1\zeta^2$ ?
@Amjad, in deinem ursprünglichen Beitrag hast du das $z_1=re^{i\varphi}$ , Und $z_2=re^{i(\varphi\pm \frac{2}{3}\pi)}$ usw. Ich habe diese mit umgeschrieben $\theta=\varphi$ da ich es eher gewohnt bin, das und dann zu schreiben $z_2=re^{i\varphi}(e^{2\pi i/3})^{\pm 1}$ nach Exponentialregeln, und dann ist dies $z_1\zeta^{\pm 1}$ durch die Notationsdefinitionen, die ich gemacht habe. Beachten Sie dann, dass wenn $z_2\ne z_1\zeta$ , Dann $z_3=z_1\zeta$ , damit wir wechseln können $z_2$ Und $z_3$ In diesem Fall. Daher können wir davon ausgehen $z_2=z_1\zeta$ . Das wissen wir $z_3=z_1\zeta^{-1}$ ähnlich, aber $\zeta^{-1}=\zeta^2$ , So $z_3=z_1\zeta^2$ wie gewünscht.
Ich weiß, dass es nur eine Frage der Notation war; aber wie kommen wir dort an? Genügt es, das zu sagen, weil $z_1, z_2, z_3$ Sind die Eckpunkte eines gleichseitigen Dreiecks innerhalb eines Kreises, der am Ursprung zentriert ist, können alle drei durch einen von ihnen um 120 und 240 Grad "verschoben" dargestellt werden?
@Amjad Tut mir leid wegen der Verzögerung, ich habe eine Weile darüber nachgedacht und dann zum Abendessen gerufen, der geometrische Beweis ist in Ordnung. Mein Beitrag ist mit einer Erklärung bearbeitet.
In meinem neuen Beitrag habe ich einen algebraischen Beweis dafür $z_2 = \zeta z_1$ Und $z_3 = \bar \zeta z_1$

Ian Taylor · Answer 2

Seit $|z_1|=|z_2|=|z_3|=r$ , dann liegen alle drei Punkte auf dem ursprungszentrierten Radiuskreis $r$ .
Wenn $|z_1-z_2|=|z_2-z_3|=|z_3-z_1|$ , dann ist das Dreieck gleichseitig und alles folgt nun leicht aus der Geometrie. Zeichnen Sie ein genaues Bild.

Duncan Watson · Answer 3

$z1, z2, z3$ sind in 120-Grad-Intervallen um einen Kreis in der komplexen Ebene beabstandet, also

z_{2} = z_{1} e^{2 π ich / 3}

$z_2 = z_1 e^{2\pi i/3}$ Und

z_{3} = z_{1} e^{- 2 π ich / 3}

$z_3 = z_1 e^{-2\pi i/3}$ Und

z_{1} + z_{2} + z_{3} = z_{1} (1 + \cos 2 π / 3 + ich Sünde 2 π / 3 + \cos 2 π / 3 - ich Sünde 2 π / 3)

$z_1 + z_2 + z_3 = z_1 ( 1 + \cos 2\pi/3 + i \sin 2\pi/3 + \cos 2\pi/3 - i \sin 2\pi/3)$

= z_{1} (1 - 1 / 2 + ich Sünde 2 π / 3 - 1 / 2 - ich Sünde 2 π / 3) = 0

$= z_1 ( 1 - 1/2 + i \sin 2\pi/3 - 1/2 - i \sin 2\pi/3) = 0$ Auch

z_{2}^{3} = z_{1}^{3} e^{(2 π ich / 3) * 3} = z_{1}^{3} e^{2 π ich} = z_{1}^{3}

$z_2^3 = z_1^3 e^{(2\pi i/3)*3 } = z_1^3 e^{2\pi i} = z_1^3$ Und

z_{3}^{3} = z_{1}^{3} e^{(- 2 π ich / 3) * 3} = z_{1}^{3} e^{- 2 π ich} = z_{1}^{3}

$z_3^3 = z_1^3 e^{(-2\pi i/3)*3 } = z_1^3 e^{-2\pi i} = z_1^3$ So

z^{3} = c

$z^3 = c$ Wo

c = z_{1}^{3}

$c = z_1^3$ Und

z = z 1

$z = z1$ ,

z 2

$z2$ oder

z 3

$z3$

Emilio Novati · Answer 4

Emilio Novati

Hinweis:

Finde zuerst die Lösungen von $z^3-c=0$ , für $z=\rho e^{i \theta}$ Und $c$ echt und $>0$ . Dann kannst du leicht beweisen iii) $\rightarrow$ i) und ii).

Benutzer2103480

Danke! Ich denke dann

z_{1} = \sqrt[3]{ρ} e^{i \frac{θ}{3}}

$z_1 = \sqrt[3]{\rho}e^{i \frac{\theta}{3}}$ ,

z_{2} = \sqrt[3]{ρ} e^{i \frac{θ + 2 π}{3}}

$z_2 = \sqrt[3]{\rho}e^{i \frac{\theta+2\pi}{3}}$ , Und

z_{3} = \sqrt[3]{ρ} e^{i \frac{θ + 4 π}{3}}

$z_3 = \sqrt[3]{\rho}e^{i \frac{\theta+4\pi}{3}}$ , So

\sqrt[3]{ρ} | 1 - e^{i \frac{2 π}{3}} | = | z_{1} - z_{2} | = | z_{2} - z_{3} | = | z_{3} - z_{1} |

$\sqrt[3]{\rho}|1-e^{i \frac{2\pi}{3}}|=|z_1-z_2|=|z_2-z_3|=|z_3-z_1|$

Benutzer2103480 · Answer 5

Zunächst sollte man das da beachten $|z_1|=|z_2|=|z_3|$ , alle drei Zahlen liegen auf einem Kreis, dessen Mittelpunkt der Ursprung ist, und daher $z_2 = e^{i\alpha}z_1$ Und $z_3 = e^{i\beta}z_1$ , für einige $\alpha, \beta \in (-\pi;\pi]$ .

(ich) $\rightarrow$ (ii):

Annehmen, dass $|z_1-z_2|=|z_2-z_3|=|z_3-z_1|$ .

Deshalb, $|z_1-z_2|=|z_3-z_1|$ , So $|z_1|\cdot|1-e^{i\alpha}|=|z_1|\cdot|1-e^{i\beta}|$ und somit $|1-e^{i\alpha}|=|1-e^{i\beta}|$ . Dies impliziert das

\cos^{2} a - 2 \cos a + 1 + {Sünde}^{2} a = \cos^{2} β - 2 \cos β + 1 + {Sünde}^{2} β

$\cos^2{\alpha}-2\cos{\alpha}+1+\sin^2{\alpha} = \cos^2{\beta}-2\cos{\beta}+1+\sin^2{\beta}$ und da

\cos^{2} x + \sin^{2} x = 1

$\cos^2{x} + \sin^2{x} = 1$ ,

\cos α = \cos β

$\cos{\alpha} = \cos{\beta}$ , also entweder

α = β

$\alpha = \beta$ oder

α = - β

$\alpha = -\beta$ . Seit

z_{2}

$z_2$ Und

z_{3}

$z_3$ sind anders,

α \neq β

$\alpha \neq \beta$ , So

α = - β

$\alpha = -\beta$ .

Jetzt seit $|z_1-z_2|=|z_2-z_3|$ , $|1-e^{i\alpha}|=|e^{i\alpha}-e^{i\beta}| = | e^{i\alpha} - e^{-i\alpha}|$ . Nach ein paar Berechnungen (Einsetzen von $\sin^2{x}$ von $1-\cos^2{x}$ Und $\sin^2{x}+\cos^2{x}$ von $1$ ), wir können das sehen $\cos^2{\alpha} - \frac{1}{2}\cos{\alpha}-\frac{1}{2} = 0$ , also entweder $\cos{\alpha} = 1$ oder $\cos{\alpha} =-\frac{1}{2}$ . Wir wissen das $z_1 \neq z_2$ , So $\cos{\alpha} =-\frac{1}{2}$ . Ohne Einschränkung der Allgemeinheit können wir davon ausgehen $\alpha > 0$ , Deshalb $\alpha = \frac{2\pi}{3}$ Und $\beta = -\frac{2\pi}{3}$ .

Deshalb,

z_{1} + z_{2} + z_{3} = z_{1} (1 + e^{ich \frac{2 π}{3}} + e^{- ich \frac{2 π}{3}}) = z_{1} (1 + 2 \cos \frac{2 π}{3}) = z_{1} (1 - 1) = 0

$z_1+z_2+z_3=z_1(1+e^{i\frac{2\pi}{3}}+e^{-i\frac{2\pi}{3}}) = z_1(1+2\cos{\frac{2\pi}{3}})=z_1(1-1)=0$

(ii) $\rightarrow$ (iii):

Annehmen, dass $z_1+z_2+z_3=0$ , So $1+e^{i\alpha} + e^{i\beta}=0$ . Daher $1+ \cos{\alpha}+\cos{\beta} = 0$ , und daher $\cos{\alpha},\cos{\beta} \leq 0$ , Weil $\cos{\alpha}+\cos{\beta}$ wäre größer als -1 sonst, da $-1 \leq \cos{x} \leq 1$ . Deshalb, $\alpha, \beta \in (-\pi;-\frac{\pi}{2}] \cup [\frac{\pi}{2};\pi]$ .

Da auch $\sin{\alpha}+\sin{\beta} = 0$ , können wir schließen $\alpha = - \beta$ , aus $\sin{\alpha} = \sin{-\beta}$ , So $\cos{\alpha} = -\frac{1}{2}$ .

Nach den gleichen Schritten wie im ersten Teil kommen wir zu dem Schluss, dass $z_2=e^{i\frac{2\pi}{3}}z_1$ Und $z_3=e^{-i\frac{2\pi}{3}}z_1$ . Nun lass $c=z_1^3$ . Dann seit $z_1^3=z_2^3=z_3^3$ (Weil $e^{2\pi}=1$ ), sie sind die Lösungen der Gleichung $z^3-c=0$ .

(iii) $\rightarrow$ (ich):

Annehmen, dass $z_1$ , $z_2$ , $z_3$ sind die Lösungen einer Gleichung $z^3-c=0$ . Lassen $\rho e^{i\theta}$ sei die Polarform von c. Ohne Einschränkung der Allgemeinheit können wir davon ausgehen $z_1 = \sqrt[3]{\rho}e^{i \frac{\theta}{3}}$ , $z_2=e^{i\frac{2\pi}{3}}z_1$ Und $z_3=e^{-i\frac{2\pi}{3}}z_1$ .

Daher $|z_1-z_2| = |z_1|\cdot|1-e^{i\frac{2\pi}{3}}| = |z_2|\cdot|1-e^{i\frac{2\pi}{3}}| = |z_2-z_3|$ . Weil $e^{-i\frac{2\pi}{3}}= \overline{e^{i\frac{2\pi}{3}}}$ , $|1-e^{-i\frac{2\pi}{3}}|=|1-e^{i\frac{2\pi}{3}}|$ , seit $\Im{1}=0$ . Somit,

| z_{2} - z_{3} | = | z_{1} | \cdot | 1 - e^{ich \frac{2 π}{3}} | = | z_{1} | \cdot | 1 - e^{- ich \frac{2 π}{3}} | = | z_{1} - z_{3} | .

$|z_2-z_3| = |z_1|\cdot |1-e^{i\frac{2\pi}{3}}| = |z_1| \cdot |1-e^{-i\frac{2\pi}{3}}| = |z_1-z_3|.$ Deshalb

| z_{1} - z_{2} | = | z_{2} - z_{3} | = | z_{3} - z_{1} | .

$|z_1-z_2|=|z_2-z_3|=|z_3-z_1|.$

Abschluss:

Daher können wir schließen, dass wenn $z_1, z_2, z_3$ sind verschiedene komplexe Zahlen, so dass $|z_1|=|z_2|=|z_3|$ , sind diese drei Anweisungen äquivalent:

(ich) $z_1, z_2, z_3$ sind Eckpunkte eines gleichseitigen Dreiecks: $|z_1-z_2|=|z_2-z_3|=|z_3-z_1|$

(ii) $z_1 + z_2 +z_3 = 0$

(iii) $z_1, z_2, z_3$ sind die Lösungen einer Gleichung $z^3-c=0$ , für $c \in \mathbb{C} \setminus \{0\}$ .

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