Komplexe Zahlen auf Kreis mit Einheitsradius

Question

Komplexe Zahlen auf Kreis mit Einheitsradius

Geometrie
Dreiecke
Mathematik
komplexe Zahlen

MvG

Gegeben drei Punkte in der komplexen Ebene (dh Zahlen $z_1,z_2,z_3\in\mathbb C$ ), definieren sie einen eindeutigen Kreis (es sei denn, sie sind kollinear). Wann hat dieser Kreis Radius eins?

Ich weiß, wie man das „auf die harte Tour“ berechnet, dh indem man Real- und Imaginärteil trennt. Von dort aus könnte ich entweder Mittelsenkrechte konstruieren und diese schneiden oder lösen $ax_k+by_k+c=x_k^2+y_k^2$ für $k\in\{1,2,3\}$ und daraus den Radius ableiten $a,b,c$ Ich fand.

Aber ich denke, es könnte eine elegantere Möglichkeit geben, diese Bedingung mit einem Vokabular auszudrücken, das besser für komplexe Zahlen geeignet ist. Das Trennen von Zahlen in Real- und Imaginärteil für alle Zahlen sollte nicht erforderlich sein, auch wenn möglicherweise irgendwann noch eine Konjugation erforderlich ist.

Als motivierendes Beispiel: Wir wissen , dass vier Punkte kreisrund sind, wenn sie erfüllt sind

| \begin{matrix} X_{1}^{2} + j_{1}^{2} & X_{1} & j_{1} & 1 \\ X_{2}^{2} + j_{2}^{2} & X_{2} & j_{2} & 1 \\ X_{3}^{2} + j_{3}^{2} & X_{3} & j_{3} & 1 \\ X_{4}^{2} + j_{4}^{2} & X_{4} & j_{4} & 1 \end{matrix} | = 0

$\begin{vmatrix} x_1^2+y_1^2 & x_1 & y_1 & 1 \\ x_2^2+y_2^2 & x_2 & y_2 & 1 \\ x_3^2+y_3^2 & x_3 & y_3 & 1 \\ x_4^2+y_4^2 & x_4 & y_4 & 1 \end{vmatrix}=0$

aber mit $z_k=x_k+iy_k$ Sie können auch den Zustand überprüfen

\frac{(z_{1} - z_{3}) (z_{2} - z_{4})}{(z_{1} - z_{4}) (z_{2} - z_{3})} \in R

$\frac{(z_1-z_3)(z_2-z_4)}{(z_1-z_4)(z_2-z_3)}\in\mathbb R$

was viel einfacher zu schreiben und zu berechnen ist. Ich suche nach einer ähnlichen Vereinfachung für den Fall des Einheitsradius.

Timbuc

Zwei Mittelsenkrechte zu konstruieren und ihren Schnittpunkt zu finden, sieht ziemlich elementar und einfach aus ... und ist nicht allzu weit entfernt.

Tom Collinge

Sie können etwas aus der Bedingung ziehen, dass, wenn die Punkte auf einem Kreis mit Radius 1 liegen, es ein solches z gibt

| z - z_{1} | = | z - z_{2} | = | z - z_{3} | = 1

$|z - z_1| = |z - z_2| = |z - z_3| = 1$

MvG

@TomCollinge: Daraus könnte etwas gewonnen werden; siehe die CW-Antwort, die ich gerade auf Ihrer Idee basiert habe. Immer noch nicht elegant, aber mit einigen Vorteilen.

Antworten (3)

Komplexe Zahlen auf Kreis mit Einheitsradius

Zwei Mittelsenkrechte zu konstruieren und ihren Schnittpunkt zu finden, sieht ziemlich elementar und einfach aus ... und ist nicht allzu weit entfernt.
Sie können etwas aus der Bedingung ziehen, dass, wenn die Punkte auf einem Kreis mit Radius 1 liegen, es ein solches z gibt $|z - z_1| = |z - z_2| = |z - z_3| = 1$
@TomCollinge: Daraus könnte etwas gewonnen werden; siehe die CW-Antwort, die ich gerade auf Ihrer Idee basiert habe. Immer noch nicht elegant, aber mit einigen Vorteilen.

Schokosup · Answer 1

Du könntest rechnen $r = A/2\sin\alpha$ was ein bisschen einfacher wäre, als $A = |c-b|$ Und

Sünde a = | ℑ (\frac{(B - A) | C - A |}{(C - A) | B - A |}) |

$\sin\alpha = \left|\Im\left(\frac{(b-a)|c-a|}{(c-a)|b-a|}\right)\right|$

Aber naja, ich weiß, das ist auch nicht sehr elegant...

Alex Rawsky · Answer 2

Es scheint folgendes.

Lassen Sie das Dreieck mit Ecken $z_1, z_2, z_3$ hat Seiten $a, b, c$ , Bereich $S$ und Radius $R$ des Umkreises. Dann $R=\frac {abc}{4S}$ . Die Formel für orientierte Fläche

2 S = | \begin{matrix} X_{1} - X_{3} & X_{2} - X_{3} \\ j_{1} - j_{3} & j_{2} - j_{3} \end{matrix} |,

$2S=\left|\begin{array}{} x_1-x_3 & x_2-x_3\\ y_1-y_3 & y_2-y_3\\ \end{array}\right|,$

Erträge $4S=2\Im(\bar z_1z_2+\bar z_2z_3+\bar z_3z_1)$ . So $R=1$ iff

| z_{1} - z_{2} | | z_{2} - z_{3} | | z_{3} - z_{1} | = 2 | ℑ ({\bar{z}}_{1} z_{2} + {\bar{z}}_{2} z_{3} + {\bar{z}}_{3} z_{1}) | .

$|z_1-z_2||z_2-z_3||z_3-z_1|=2|\Im(\bar z_1z_2+\bar z_2z_3+\bar z_3z_1)|.$

MvG · Answer 3

Der Kommentar von Tom hat mich auf eine Idee gebracht. Dies ist noch keine vollständige Antwort . Erweitern Sie daher bitte, ob Ihnen weitere Vorgehensweisen einfallen. Beginnen wir mit dem, was er geschrieben hat:

\exists z \in C : | z - z_{1} | = | z - z_{2} | = | z - z_{3} | = 1

$\exists z\in\mathbb C:\quad \lvert z-z_1\rvert=\lvert z-z_2\rvert=\lvert z-z_3\rvert=1$

Lassen Sie uns die Dinge quadrieren und absolute Werte durch Konjugation ausdrücken.

\exists z \in C \forall k \in {1, 2, 3} : 1 = (z - z_{k}) (\bar{z} - {\bar{z}}_{k}) = z \bar{z} - z {\bar{z}}_{k} - \bar{z} z_{k} + z_{k} {\bar{z}}_{k}

$\exists z\in\mathbb C\,\forall k\in\{1,2,3\}:\quad 1=(z-z_k)(\bar z-\bar z_k)=z\bar z-z\bar z_k-\bar zz_k+z_k\bar z_k$

Jetzt können wir behandeln $a=-\bar z$ Und $b=-z$ als zwei unterschiedliche Variablen und erhalten

A B + A z_{k} + B {\bar{z}}_{k} + | z_{k} |^{2} - 1 = 0

$ab + az_k + b\bar z_k + \lvert z_k\rvert^2 - 1 = 0$

Drei Bedingungen für zwei Variablen, das ist immer noch zu viel. Also lasst uns behandeln $c=ab$ als dritte Variable.

A z_{k} + B {\bar{z}}_{k} + C = 1 - | z_{k} |^{2}

$az_k + b\bar z_k + c = 1 - \lvert z_k\rvert^2$

Also haben wir jetzt eine $3\times 3$ Gleichungssystem, und wenn wir das gelöst haben, können wir prüfen, ob $c=ab$ hält. Ich denke, wenn ja, dann $a=\bar b$ wird auch halten. Um diese Vermutung zu überprüfen: Aus Symmetriegründen $c$ ist echt. Deshalb $az_k$ Und $b\bar z_k$ müssen entgegengesetzte Imaginärteile haben. Außerdem, $az_k\cdot b\bar z_k=c\lvert z_k\rvert^2\in\mathbb R$ also müssen sie auch gegensätzliche Argumente haben. Wenn zwei Zahlen entgegengesetzten Imaginärteil und entgegengesetztes Argument haben, dann sind sie zueinander konjugiert.

Leider ist das Lösen eines Systems aus drei linearen Gleichungen immer noch schwieriger als ich gehofft hatte. Ein großer Gewinn ist, dass dieser Ansatz sehr symmetrisch ist und auch symbolisch erfolgen kann. Leider sieht das Ergebnis immer noch böse aus:

z_{1}^{2} {\bar{z}}_{1}^{2} z_{2} {\bar{z}}_{2} - z_{1} {\bar{z}}_{1}^{2} z_{2}^{2} {\bar{z}}_{2} - z_{1}^{2} {\bar{z}}_{1} z_{2} {\bar{z}}_{2}^{2} + z_{1} {\bar{z}}_{1} z_{2}^{2} {\bar{z}}_{2}^{2} - z_{1}^{2} {\bar{z}}_{1}^{2} {\bar{z}}_{2} z_{3} + {\bar{z}}_{1}^{2} z_{2}^{2} {\bar{z}}_{2} z_{3} + z_{1}^{2} {\bar{z}}_{1} {\bar{z}}_{2}^{2} z_{3} - {\bar{z}}_{1} z_{2}^{2} {\bar{z}}_{2}^{2} z_{3} + z_{1} {\bar{z}}_{1}^{2} {\bar{z}}_{2} z_{3}^{2} - {\bar{z}}_{1}^{2} z_{2} {\bar{z}}_{2} z_{3}^{2} - z_{1} {\bar{z}}_{1} {\bar{z}}_{2}^{2} z_{3}^{2} + {\bar{z}}_{1} z_{2} {\bar{z}}_{2}^{2} z_{3}^{2} - z_{1}^{2} {\bar{z}}_{1}^{2} z_{2} {\bar{z}}_{3} + z_{1} {\bar{z}}_{1}^{2} z_{2}^{2} {\bar{z}}_{3} + z_{1}^{2} z_{2} {\bar{z}}_{2}^{2} {\bar{z}}_{3} - z_{1} z_{2}^{2} {\bar{z}}_{2}^{2} {\bar{z}}_{3} + z_{1}^{2} {\bar{z}}_{1}^{2} z_{3} {\bar{z}}_{3} - {\bar{z}}_{1}^{2} z_{2}^{2} z_{3} {\bar{z}}_{3} - z_{1}^{2} {\bar{z}}_{2}^{2} z_{3} {\bar{z}}_{3} + z_{2}^{2} {\bar{z}}_{2}^{2} z_{3} {\bar{z}}_{3} - z_{1} {\bar{z}}_{1}^{2} z_{3}^{2} {\bar{z}}_{3} + {\bar{z}}_{1}^{2} z_{2} z_{3}^{2} {\bar{z}}_{3} + z_{1} {\bar{z}}_{2}^{2} z_{3}^{2} {\bar{z}}_{3} - z_{2} {\bar{z}}_{2}^{2} z_{3}^{2} {\bar{z}}_{3} + z_{1}^{2} {\bar{z}}_{1} z_{2} {\bar{z}}_{3}^{2} - z_{1} {\bar{z}}_{1} z_{2}^{2} {\bar{z}}_{3}^{2} - z_{1}^{2} z_{2} {\bar{z}}_{2} {\bar{z}}_{3}^{2} + z_{1} z_{2}^{2} {\bar{z}}_{2} {\bar{z}}_{3}^{2} - z_{1}^{2} {\bar{z}}_{1} z_{3} {\bar{z}}_{3}^{2} + {\bar{z}}_{1} z_{2}^{2} z_{3} {\bar{z}}_{3}^{2} + z_{1}^{2} {\bar{z}}_{2} z_{3} {\bar{z}}_{3}^{2} - z_{2}^{2} {\bar{z}}_{2} z_{3} {\bar{z}}_{3}^{2} + z_{1} {\bar{z}}_{1} z_{3}^{2} {\bar{z}}_{3}^{2} - {\bar{z}}_{1} z_{2} z_{3}^{2} {\bar{z}}_{3}^{2} - z_{1} {\bar{z}}_{2} z_{3}^{2} {\bar{z}}_{3}^{2} + z_{2} {\bar{z}}_{2} z_{3}^{2} {\bar{z}}_{3}^{2} + {\bar{z}}_{1}^{2} z_{2}^{2} - 2 z_{1} {\bar{z}}_{1} z_{2} {\bar{z}}_{2} + z_{1}^{2} {\bar{z}}_{2}^{2} - 2 {\bar{z}}_{1}^{2} z_{2} z_{3} + 2 z_{1} {\bar{z}}_{1} {\bar{z}}_{2} z_{3} + 2 {\bar{z}}_{1} z_{2} {\bar{z}}_{2} z_{3} - 2 z_{1} {\bar{z}}_{2}^{2} z_{3} + {\bar{z}}_{1}^{2} z_{3}^{2} - 2 {\bar{z}}_{1} {\bar{z}}_{2} z_{3}^{2} + {\bar{z}}_{2}^{2} z_{3}^{2} + 2 z_{1} {\bar{z}}_{1} z_{2} {\bar{z}}_{3} - 2 {\bar{z}}_{1} z_{2}^{2} {\bar{z}}_{3} - 2 z_{1}^{2} {\bar{z}}_{2} {\bar{z}}_{3} + 2 z_{1} z_{2} {\bar{z}}_{2} {\bar{z}}_{3} - 2 z_{1} {\bar{z}}_{1} z_{3} {\bar{z}}_{3} + 2 {\bar{z}}_{1} z_{2} z_{3} {\bar{z}}_{3} + 2 z_{1} {\bar{z}}_{2} z_{3} {\bar{z}}_{3} - 2 z_{2} {\bar{z}}_{2} z_{3} {\bar{z}}_{3} + z_{1}^{2} {\bar{z}}_{3}^{2} - 2 z_{1} z_{2} {\bar{z}}_{3}^{2} + z_{2}^{2} {\bar{z}}_{3}^{2} = 0

$z_1^2\bar z_1^2z_2\bar z_2 - z_1\bar z_1^2z_2^2\bar z_2 - z_1^2\bar z_1z_2\bar z_2^2 + z_1\bar z_1z_2^2\bar z_2^2 - z_1^2\bar z_1^2\bar z_2z_3 + \bar z_1^2z_2^2\bar z_2z_3 + z_1^2\bar z_1\bar z_2^2z_3 - \bar z_1z_2^2\bar z_2^2z_3 + z_1\bar z_1^2\bar z_2z_3^2 - \bar z_1^2z_2\bar z_2z_3^2 - z_1\bar z_1\bar z_2^2z_3^2 + \bar z_1z_2\bar z_2^2z_3^2 - z_1^2\bar z_1^2z_2\bar z_3 + z_1\bar z_1^2z_2^2\bar z_3 + z_1^2z_2\bar z_2^2\bar z_3 - z_1z_2^2\bar z_2^2\bar z_3 + z_1^2\bar z_1^2z_3\bar z_3 - \bar z_1^2z_2^2z_3\bar z_3 - z_1^2\bar z_2^2z_3\bar z_3 + z_2^2\bar z_2^2z_3\bar z_3 - z_1\bar z_1^2z_3^2\bar z_3 + \bar z_1^2z_2z_3^2\bar z_3 + z_1\bar z_2^2z_3^2\bar z_3 - z_2\bar z_2^2z_3^2\bar z_3 + z_1^2\bar z_1z_2\bar z_3^2 - z_1\bar z_1z_2^2\bar z_3^2 - z_1^2z_2\bar z_2\bar z_3^2 + z_1z_2^2\bar z_2\bar z_3^2 - z_1^2\bar z_1z_3\bar z_3^2 + \bar z_1z_2^2z_3\bar z_3^2 + z_1^2\bar z_2z_3\bar z_3^2 - z_2^2\bar z_2z_3\bar z_3^2 + z_1\bar z_1z_3^2\bar z_3^2 - \bar z_1z_2z_3^2\bar z_3^2 - z_1\bar z_2z_3^2\bar z_3^2 + z_2\bar z_2z_3^2\bar z_3^2 + \bar z_1^2z_2^2 - 2z_1\bar z_1z_2\bar z_2 + z_1^2\bar z_2^2 - 2\bar z_1^2z_2z_3 + 2z_1\bar z_1\bar z_2z_3 + 2\bar z_1z_2\bar z_2z_3 - 2z_1\bar z_2^2z_3 + \bar z_1^2z_3^2 - 2\bar z_1\bar z_2z_3^2 + \bar z_2^2z_3^2 + 2z_1\bar z_1z_2\bar z_3 - 2\bar z_1z_2^2\bar z_3 - 2z_1^2\bar z_2\bar z_3 + 2z_1z_2\bar z_2\bar z_3 - 2z_1\bar z_1z_3\bar z_3 + 2\bar z_1z_2z_3\bar z_3 + 2z_1\bar z_2z_3\bar z_3 - 2z_2\bar z_2z_3\bar z_3 + z_1^2\bar z_3^2 - 2z_1z_2\bar z_3^2 + z_2^2\bar z_3^2=0$

Dennoch gibt es einige Anwendungen, bei denen diese Formulierung besser ist als der naive Ansatz der Aufspaltung von Real- und Imaginärteil. Nämlich, wenn Sie in einem Teilbereich von arbeiten $\mathbb C$ wo der Imaginärteil nicht in diesem Feld ist und daher die Berechnung mit hohen Umwandlungskosten verbunden ist, z. B. in einem zyklotomischen Feld. Das Obige kann die ganze Zeit in diesem Feld bleiben, ohne Konvertierungen.

Es dachte mit $|z - z_1| = |z - z_2| = |z - z_3| = 1$ dass es möglich sein kann, die Bedingungen für die Konsistenz der Gleichungen zu bestimmen, ohne tatsächlich eine Lösung dafür finden zu müssen $z$ . Beispielsweise bei zwei Punkten sollte sich herausstellen, dass $|z_1 - z_2| \le 2$ ist eine notwendige und hinreichende Bedingung. Das habe ich noch nicht geschafft: Vielleicht kannst du es voranbringen.

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