Was ist der innere Punkt, von dem aus die Summe der Abstände zu den Eckpunkten eines n-seitigen unregelmäßigen Polygons minimal ist?

Question

Was ist der innere Punkt, von dem aus die Summe der Abstände zu den Eckpunkten eines n-seitigen unregelmäßigen Polygons minimal ist?

Geometrie
Mathematik
komplexe Zahlen

Krallen

Ein Freund, der sich in den letzten Tagen mit dieser Frage herumgeschlagen hat, hat mir diese Frage gestellt.

Was ist der innere Punkt, von dem aus die Summe der Abstände zu den Eckpunkten eines n-seitigen unregelmäßigen Polygons minimal ist?

Meine Vermutung ist, dass der Punkt Schwerpunkt sein sollte. Aber ich kann es nicht beweisen. Ich habe auch versucht zu googeln, aber ich habe nur etwas über Fermat's Point gefunden , was nicht das ist, wonach ich suche.

PS: Ich habe den Beweis versucht, indem ich das Polygon in der Argarand-Ebene angenommen habe, ich bin nirgendwo hingegangen, sondern habe nur gesagt.

Parcly Taxel

Mal sehen ... das ist wirklich das Problem des geometrischen Medians und mindestens so schwierig, also müssen Sie numerische Methoden anwenden.

Parcly Taxel

Und nein, der Schwerpunkt ist nicht die Lösung des Dreipunktproblems.

ajotatxe

Gibt es einen Grund für das Tag "komplexe Zahlen"? Haben Sie schon einmal darüber nachgedacht, mithilfe komplexer Arithmetik oder Analyse eine Lösung zu finden?

Narasimham

@claws Kannst du skizzieren, wenn es vier Knoten gibt? Ich dachte wie ... Schwerpunkt des minimalen Spannbaums.

Jack D’Aurizio

Dies ist als Weiszfeld-Problem bekannt: web.iem.technion.ac.il/images/user-files/becka/papers/44.pdf

Ross Millikan

Sie können der Formulierung in Wikipedia für das Problem des geometrischen Mittelwerts folgen und den Ausdruck einem 2D-Funktionsminimierer zuführen, der über die Koordinaten von arbeitet

y

$y$ .

Benutzer65203

Wenn ich die Frage nicht falsch verstehe, hat das Polygon hier keine Relevanz, Sie berechnen nur die Entfernungen zu einer endlichen Punktmenge.

Benutzer65203

Der Schwerpunkt minimiert die Summe der quadrierten Abstände. In 1D wird das Minimum der Summe der [quadrierten] Distanzen durch den Median [Mittelwert] erreicht.

Antworten (1)

Was ist der innere Punkt, von dem aus die Summe der Abstände zu den Eckpunkten eines n-seitigen unregelmäßigen Polygons minimal ist?

Mal sehen ... das ist wirklich das Problem des geometrischen Medians und mindestens so schwierig, also müssen Sie numerische Methoden anwenden.
Und nein, der Schwerpunkt ist nicht die Lösung des Dreipunktproblems.
Gibt es einen Grund für das Tag "komplexe Zahlen"? Haben Sie schon einmal darüber nachgedacht, mithilfe komplexer Arithmetik oder Analyse eine Lösung zu finden?
@claws Kannst du skizzieren, wenn es vier Knoten gibt? Ich dachte wie ... Schwerpunkt des minimalen Spannbaums.
Dies ist als Weiszfeld-Problem bekannt: web.iem.technion.ac.il/images/user-files/becka/papers/44.pdf
Sie können der Formulierung in Wikipedia für das Problem des geometrischen Mittelwerts folgen und den Ausdruck einem 2D-Funktionsminimierer zuführen, der über die Koordinaten von arbeitet $y$ .
Wenn ich die Frage nicht falsch verstehe, hat das Polygon hier keine Relevanz, Sie berechnen nur die Entfernungen zu einer endlichen Punktmenge.
Der Schwerpunkt minimiert die Summe der quadrierten Abstände. In 1D wird das Minimum der Summe der [quadrierten] Distanzen durch den Median [Mittelwert] erreicht.

Benutzer65203 · Answer 1

Lassen

E := \sum “ X - j_{ich} “ = \sum \sqrt{(X - j_{ich})^{2}}

$E:=\sum\|\mathbb x-\mathbb y_i\|=\sum\sqrt{(\mathbb x-\mathbb y_i)^2}$ (

x

$\mathbb x$ Und

y_{i}

$\mathbb y_i$ sind Vektoren).

Dann minimieren wir durch

\nabla E = \sum \frac{X - j_{ich}}{\sqrt{(X - j_{ich})^{2}}} = 0

$\nabla E=\sum\frac{\mathbb x-\mathbb y_i}{\sqrt{(\mathbb x-\mathbb y_i)^2}}=\mathbb 0$

oder

X \sum \frac{1}{“ X - j_{ich} “} = \sum \frac{j_{ich}}{“ X - j_{ich} “}

$\mathbb x\sum\frac1{\|\mathbb x-\mathbb y_i\|}=\sum\frac{\mathbb y_i}{\|\mathbb x-\mathbb y_i\|}$ Das ist eine fiese nichtlineare Gleichung, die numerisch gelöst werden muss. ( https://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_median#Computation )

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