Komplexe Zahlen und Geometrie - Vier komplexe Zahlen, die auf einem Kreis liegen

Question

Komplexe Zahlen und Geometrie - Vier komplexe Zahlen, die auf einem Kreis liegen

Geometrie
Mathematik
komplexe Zahlen

Alex v.

Ich stecke bei einem Problem von Was ist Mathematik fest? , von Courant und Robbins. Die Formulierung lautet wie folgt:

Beweisen Sie, dass if für vier komplexe Zahlen gilt $z_1$ , $z_2$ , $z_3$ Und $z_4$ , die Winkel von $\frac{z_3-z_1}{z_3-z_2}$ Und $\frac{z_4-z_1}{z_4-z_2}$ gleich sind, dann liegen die vier Zahlen auf einem Kreis oder auf einer Geraden und umgekehrt.

In einer vorherigen Übung habe ich den Winkel von interpretiert $\frac{z_1-z_2}{z_1-z_3}$ als (orientierter) Winkel zwischen den Vektoren $z_1-z_3$ Und $z_1-z_2$ , also stelle ich mir vor, dass ich eine Art geometrisches Argument verwenden sollte, aber ich kann nichts Nützliches finden (wahrscheinlich sind meine Geometriekenntnisse mangelhaft). Ich habe viele verschiedene algebraische Manipulationen ausprobiert, um zu zeigen, dass die vier Punkte auf einem Kreis liegen, aber sie werden schließlich extrem umständlich und ich denke, dass das Problem nicht so schwer sein kann ...

Irgendwelche Ideen bezüglich eines einfachen geometrischen oder algebraischen Arguments, um die Gültigkeit des Satzes zu zeigen?

Blau

Der Schlüssel zum kreisförmigen Teil ist das Inscribed Angle Theorem (IAT) . Wenn

z_{1}

$z_1$ ,

z_{2}

$z_2$ ,

z_{3}

$z_3$ nicht kollinear sind, dann befinden sie sich auf einem (richtigen) Kreis. Die Gleichheit der beiden Quotienten impliziert (und wird impliziert) die Tatsache, dass

∠ z_{1} z_{4} z_{2} = ∠ z_{1} z_{3} z_{2}

$\angle z_1 z_4 z_2 = \angle z_1 z_3 z_2$ ; die IAT sagt, dass diese Tatsache gleichbedeutend mit Haben ist

z_{4}

$z_4$ lebe in diesem Kreis. (Die eingeschriebenen Winkel bei

z_{3}

$z_3$ Und

z_{4}

$z_4$ denselben Bogen "betrachten",

\overset{⌢}{z_{1} z_{2}}

$\stackrel{\frown}{z_1z_2}$ .)

MvG

@Blue: Ich würde sagen, Ihr Kommentar ist tatsächlich eine Antwort.

Antworten (1)

Komplexe Zahlen und Geometrie - Vier komplexe Zahlen, die auf einem Kreis liegen

Der Schlüssel zum kreisförmigen Teil ist das Inscribed Angle Theorem (IAT) . Wenn $z_1$ , $z_2$ , $z_3$ nicht kollinear sind, dann befinden sie sich auf einem (richtigen) Kreis. Die Gleichheit der beiden Quotienten impliziert (und wird impliziert) die Tatsache, dass $\angle z_1 z_4 z_2 = \angle z_1 z_3 z_2$ ; die IAT sagt, dass diese Tatsache gleichbedeutend mit Haben ist $z_4$ lebe in diesem Kreis. (Die eingeschriebenen Winkel bei $z_3$ Und $z_4$ denselben Bogen "betrachten", $\stackrel{\frown}{z_1z_2}$ .)
@Blue: Ich würde sagen, Ihr Kommentar ist tatsächlich eine Antwort.

Kunal Gupta · Answer 1

Lassen $z_1$ , $z_2$ Und $z_3$ nicht kollinear sein.

Skizzieren Sie nun einen durchgehenden Kreis $z_1$ , $z_2$ Und $z_3$ .

Nehmen $\overline{z_1 z_2}$ als Akkord.

Jetzt Winkel suchen $\widehat{z_1 z_2 z_3} = \theta$ , hat die Sehne an jedem Punkt des Kreises denselben Winkel (und an keinem anderen Punkt). Nun zum Winkel $\widehat{z_1 z_4 z_2} = \theta$ , es muss auf dem Kreis liegen: damit ist der erste Teil bewiesen.

Zweiter Fall, $z_1$ , $z_2$ Und $z_3$ sind kollinear und somit $\theta$ Ist $0$ oder $\pi$ .

Also Winkel $\widehat{z_1 z_4 z_2}$ ist entweder null oder $\pi$ was impliziert, dass sie kollinear sind und somit alle vier kollinear sind.

Komplexe Zahlen und Geometrie - Vier komplexe Zahlen, die auf einem Kreis liegen

Alex v.

Blau

MvG

Antworten (1)

Kunal Gupta

Geometrische Anwendungen komplexer Zahlen

Was ist das Bild von P in BC?

Was ist der innere Punkt, von dem aus die Summe der Abstände zu den Eckpunkten eines n-seitigen unregelmäßigen Polygons minimal ist?

Vier komplexe Zahlen auf einem Kreis oder auf einer Geraden.

Zum Beweis, dass drei komplexe Punkte ein gleichseitiges Dreieck bilden

Komplexe Zahlen auf Kreis mit Einheitsradius

Durchschnitt einer ungeraden Anzahl von Punkten mit gleichem Abstand auf einem Kreis

Äquivalenzbeweis für komplexe Zahlen

Gibt es einen einfachen Beweis dafür, dass das Dreieck, das durch die Schwerpunkte der Napoleon-Dreiecke gebildet wird, gleichseitig ist?

Herausfinden des Arguments der Ecke einer Raute mit den Bedingungen |z1|=|z2|=4|z1|=|z2|=4|z_1|=|z_2|=4 und |z3|=6|z3|=6| z_3|=6.