limz→z0p(z)q(z)limz→z0p(z)q(z)\lim_{z\to z_0} \frac{p(z)}{q(z)} wobei ppp und qqq komplexe Polynome sind.

Hinweis

Vermuten$p(z)=(z-z_0)^\alpha \ a(z)$Und$q(z)=(z-z_0)^\beta \ b(z)$Wo$a(z_0),b(z_0)$sind ungleich Null. Dann existiert der Grenzwert gdw$\alpha \geq \beta$

Erläuterung

$$\lim\limits_{z\rightarrow z_0} \frac{p(z)}{q(z)} \ = \ \lim\limits_{z\rightarrow z_0}(z-z_0)^{\alpha-\beta}\lim\limits_{z\rightarrow z_0}\frac{a(z)}{b(z)} \ = \ \lim\limits_{z\rightarrow z_0}(z-z_0)^{\alpha-\beta}\frac{a(z_0)}{b(z_0)}$$ Die letzte Grenze existiert gff $\alpha\geq \beta$.

Notiz

Hier$\alpha$Und$\beta$sind nichtnegative ganze Zahlen. Wenn$p(z_0)\neq 0$dann nehmen wir$\alpha=0$. Wenn$p(z_0) = 0$dann nehmen wir die größte ganze Zahl$\alpha$so dass$(z-z_0)^\alpha$teilt$p(z)$oder gleichwertig$\frac{p(z)}{(z-z_0)^\alpha}$ist ein Polynom.

Dies ist die übliche Faktorisierung für Polynome.

Sie können die euklidische Division verwenden, um den größten gemeinsamen Teiler zu finden$d(z)$von$p(z)$Und$q(z)$. Das gibt dir$p(z)=r(z)d(z)$Und$q(z)=s(z)d(z)$Wo$r$Und$s$haben keine Wurzeln in der Gemeinschaft. Dann

$$\lim_{z\rightarrow z_0}\frac{p(z)}{q(z)} =\lim_{z\rightarrow z_0} \frac{r(z)}{s(z)}$$ ist unendlich genau wann $s(z_0)=0$.