Festgefahren, um zu beweisen, dass ∣z∣2∣z∣2\mid z\mid^2 in zzz nicht analytisch ist

Question

Festgefahren, um zu beweisen, dass ∣z∣2∣z∣2\mid z\mid^2 in zzz nicht analytisch ist

Grenzen
Infinitesimalrechnung
Analytizität
Mathematik
komplexe Analyse

AMIT MITTAL

Das beweise ich $f(z) = \mid z\mid^2$ ist keine analytische Funktion. Also wollte ich nicht die Cauchy-Riemann-Bedingung oder ähnliches verwenden, aber ich weiß, dass diese spezielle Funktion nur bei differenzierbar ist $z=0$ und nirgendwo sonst. Also überprüfe ich die Differenzierbarkeit bei $z=0$ ohne Schwierigkeiten, indem Sie einfach die Definition der differenzierbaren komplexwertigen Funktion wie in pic verwenden:

Jetzt lasse ich einen anderen willkürlichen Punkt $z_0 \neq 0$ und überprüfen Sie die Differenzierbarkeit bei $z_0$ nur indem man die Existenz dieser Grenze nutzt

lim_{z \to z_{Ö}} \frac{F (z) - F (z_{0})}{z - z_{0}}

$\lim_{z \to z_o} \frac{f(z)-f(z_0)}{ z - z_0}$

$\implies$ $\lim_{z \to z0o} \frac{\mid{z}\mid^2-\mid{z_0}\mid^2}{ z - z_0}$

$\implies$ $\lim_{z \to z_0} \frac{(X^2-X_0^2) + ( Y^2 -Y_0^2 )}{ (X-X_0) + (Y-Y_0)\iota}$

Aber jetzt stecke ich fest, wie kann ich die Nichtexistenz von Limit nachweisen. Wenn ich dann rationalisiere, bekomme ich auch keine zufriedenstellenden Ergebnisse. Oder es scheint unmöglich, zwei verschiedene Wege zu wählen, weil $z_0$ ist ein unbekannter Punkt.

Matthäus H.

Haben Sie versucht, diese Grenze entlang der horizontalen Linie auszuwerten?

y = y_{0}

$y=y_0$ und dann die vertikale Linie

x = x_{0}

$x=x_0$ ?

AMIT MITTAL

Ich weiß das einfach

z_{o}

$z_o$ ist nur ein Nicht-Nullpunkt. Wie kann ich es also mit der x-Achse oder der y-Achse angehen?

TravorLZH

Schreiben

z

$z$ als

z_{0} + x + i y

$z_0+x+iy$

Antworten (2)

Festgefahren, um zu beweisen, dass ∣z∣2∣z∣2\mid z\mid^2 in zzz nicht analytisch ist

Haben Sie versucht, diese Grenze entlang der horizontalen Linie auszuwerten? $y=y_0$ und dann die vertikale Linie $x=x_0$ ?
Ich weiß das einfach $z_o$ ist nur ein Nicht-Nullpunkt. Wie kann ich es also mit der x-Achse oder der y-Achse angehen?

mathcounterexamples.net · Answer 1

Lassen $x$ gehört $\mathbb R\setminus \{0\}$ .

Du hast

\frac{| z_{0} + X |^{2} - | z_{0} |^{2}}{(z_{0} + X) - z_{0}} = \frac{X (z_{0} + \bar{z_{0}}) + X^{2}}{X}

$\frac{\vert z_0 +x \vert^2 - \vert z_0\vert^2}{(z_0+x)-z_0}=\frac{x(z_0+\overline{z_0}) +x^2}{x}$

während

\frac{| z_{0} + ich X |^{2} - | z_{0} |^{2}}{(z_{0} + ich X) - z_{0}} = \frac{ich X (- z_{0} + \bar{z_{0}}) + X^{2}}{ich X}

$\frac{\vert z_0 +ix \vert^2 - \vert z_0\vert^2}{(z_0+ix)-z_0}=\frac{ix(-z_0+\overline{z_0}) +x^2}{ix}$

Sie erhalten das gewünschte Ergebnis wie für $z_0 \neq 0$ ,

z_{0} + \bar{z_{0}} \neq - z_{0} + \bar{z_{0}}

$z_0+ \overline{z_0} \neq -z_0 +\overline{z_0}$

Alex Nolte · Answer 2

Hier ist eine andere Perspektive auf dieses Problem, die breite Anwendung findet und eine rechnerisch kompakte Art ist, die Cauchy-Riemann-Bedingung zu verwenden. A $C^1$ Funktion $f: \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ ist holomorph bei $z_0$ dann und nur dann, wenn $\overline{\partial} f(z_0) = 0$ , Wo $\overline{\partial} = \frac{1}{2}(\partial/\partial x + i \partial/\partial y)$ ist das Wirtinger-Derivat . Wirtinger-Derivate erfüllen Produkt- und Kettenregeln und $\overline{\partial} z = 0$ , $\overline{\partial} \bar{z} = 1$ . Hier, $\overline{\partial} |z|^2 = \overline{\partial} (z \bar{z}) = z$ , die außer at ungleich Null ist $0$ .

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Matthäus H.

AMIT MITTAL

TravorLZH

Antworten (2)

mathcounterexamples.net

AMIT MITTAL

Alex Nolte

Finden der Ableitung einer Funktion mit Grundprinzipien

Was genau ist die Beziehung und was sind die Unterschiede zwischen multivariablen Grenzwerten und komplexen Grenzwerten?

Wie berechnet man den Wert einer multivariablen Grenze?

Eine Grenzwertberechnung unter Verwendung des Riemann-Integrals

Zeigen Sie, dass die Folge nach unten beschränkt ist durch 2–√2{\sqrt 2}

Geometrische Anwendungen komplexer Zahlen

Ableitung mit Grenzwertdefinition berechnen

Was ist limk→0f(k)=2+k32cos1k2limk→0f(k)=2+k32cos⁡1k2\lim\limits_{k \to 0}{f(k) = 2 + k^{\frac{3}{ 2}}\cos {\frac{1}{k^2}}}

Beweis der Korrektheit der alternativen Ableitungsdefinition

Beweisen Sie, dass eine konvergente Folge entweder ein Minimum, ein Maximum oder beides hat.