Finden eines Punktes in einem Liniensegment mit gegebenem Verhältnis

Question

Finden eines Punktes in einem Liniensegment mit gegebenem Verhältnis

Infinitesimalrechnung
Mathematik
komplexe Zahlen
komplexe Analyse
analytische Geometrie
Euklidische Geometrie

Benutzer547800

Lassen $\sigma$ sei die Strecke, die die komplexen Zahlen verbindet $z_1$ Und $z_2$ . Ich will den Punkt finden $z$ was teilt $\sigma$ im Verhältnis $\lambda_1:\lambda_2$ .

Meine Methode: Wenn $z_1=x_1+iy_1$ , $z_2=x_2+iy_2$ Und $z=x+iy$ dann können wir schreiben

(X - X_{1})^{2} + (j - j_{1})^{2} = λ_{1}^{2}, (X_{2} - X)^{2} + (j_{2} - j)^{2} = λ_{2}^{2}

$(x-x_1)^2+(y-y_1)^2=\lambda_1^2,\\ (x_2-x)^2+(y_2-y)^2=\lambda_2^2$

Nach einiger Manipulation kommen wir an

X_{1}^{2} + j_{1}^{2} - X_{2}^{2} - j_{2}^{2} + (2 X_{2} - 2 X_{1}) X + (2 j_{2} - 2 j_{1}) j = λ_{1}^{2} - λ_{2}^{2}

$x_1^2+y_1^2-x_2^2-y_2^2+(2x_2-2x_1)x+(2y_2-2y_1)y=\lambda_1^2-\lambda_2^2$

Diese mit der Linie schneiden

j - j_{2} = \frac{j_{2} - j_{1}}{X_{2} - X_{1}} (X - X_{2})

$y-y_2=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_2)$

Wir können den Punkt finden $z=x+iy$ .

Meine Frage ist, welche anderen Methoden können wir verwenden, die einfachere oder sogar komplexe Analysemethoden sind? Danke.

Delta-u

Deine erste Gleichung ist

| z_{1} - z |^{2} = λ_{1}^{2}

$|z_1-z|^2=\lambda_1^2$ Und

| z_{2} - z |^{2} = λ_{2}^{2}

$|z_2-z|^2=\lambda_2^2$ , aber wenn ich mich nicht irre, willst du:

\frac{| z - z_{1} |}{| z - z_{2} |} = \frac{λ_{1}}{λ_{2}}

$\frac{|z-z_1|}{|z-z_2|}=\frac{\lambda_1}{\lambda_2}$ dh:

| z_{1} - z |^{2} = a^{2} λ_{1}^{2}

$|z_1-z|^2=a^2 \lambda_1^2$ Und

| z_{2} - z |^{2} = a^{2} λ_{2}^{2}

$|z_2-z|^2=a^2\lambda_2^2$ für einige

a > 0

$a>0$ ?

Benutzer547800

@Delta-u Ja, du hast Recht. und was schlägst du dann vor?

Antworten (2)

Finden eines Punktes in einem Liniensegment mit gegebenem Verhältnis

Deine erste Gleichung ist $|z_1-z|^2=\lambda_1^2$ Und $|z_2-z|^2=\lambda_2^2$ , aber wenn ich mich nicht irre, willst du: $\frac{| z - z_{1} |}{| z - z_{2} |} = \frac{λ_{1}}{λ_{2}}$ $\frac{|z-z_1|}{|z-z_2|}=\frac{\lambda_1}{\lambda_2}$ dh: $|z_1-z|^2=a^2 \lambda_1^2$ Und $|z_2-z|^2=a^2\lambda_2^2$ für einige $a>0$ ?

Tranceortung · Answer 1

wenn ich dich richtig verstanden habe suchst du so etwas:

z_{λ_{1} : λ_{2}} = \frac{λ_{1}}{λ_{1} + λ_{2}} z_{1} + \frac{λ_{2}}{λ_{1} + λ_{2}} z_{2}

$z_{\lambda_1 : \lambda_2} = \frac{\lambda_1}{\lambda_1 + \lambda_2}z_1 + \frac{\lambda_2}{\lambda_1 + \lambda_2}z_2$

Dies ist eine konvexe Kombination von $z_1$ Und $z_2$ Teilen des Segments, das diese beiden Punkte verbindet, im angegebenen Verhältnis.

Delta-u · Answer 2

Wenn Sie bereits wissen, dass der Punkt eingeschaltet ist $\sigma$ dann gibt es $t \in (0,1)$ so dass:

z = T z_{1} + (1 - T) z_{2}

$z=tz_1+(1-t)z_2$ und du willst:

\frac{| z_{1} - z |}{| z_{2} - z |} = \frac{λ_{1}}{λ_{2}}

$\frac{|z_1-z|}{|z_2-z|}=\frac{\lambda_1}{\lambda_2}$ So:

\frac{| z_{1} - (T z_{1} + (1 - T) z_{2}) |}{| z_{2} - (T z_{1} + (1 - T) z_{2}) |} = \frac{| (1 - T) z_{1} + (1 - T) z_{2} |}{| T z_{1} + T z_{2} |} = \frac{T}{1 - T} = \frac{λ_{1}}{λ_{2}}

$\frac{|z_1-(tz_1+(1-t)z_2)|}{|z_2-(tz_1+(1-t)z_2)|}=\frac{|(1-t)z_1+(1-t)z_2|}{|tz_1+t z_2|}=\frac{t}{1-t}=\frac{\lambda_1}{\lambda_2}$ und die Lösung von

\frac{t}{1 - t} = \frac{λ_{1}}{λ_{2}}

$\frac{t}{1-t}=\frac{\lambda_1}{\lambda_2}$ dh

λ_{2} t - λ_{1} (1 - t) = 0

$\lambda_2 t-\lambda_1 (1-t)=0$ Ist:

T = \frac{λ_{1}}{λ_{1} + λ_{2}}

$t=\frac{\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2}$ So:

z = \frac{λ_{1}}{λ_{1} + λ_{2}} z_{1} + \frac{λ_{2}}{λ_{1} + λ_{2}} z_{2}

$z=\frac{\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2}z_1+\frac{\lambda_2}{\lambda_1+\lambda_2}z_2$

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Delta-u

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Tranceortung

Delta-u

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