Der Ort des Schwerpunkts eines Dreiecks, wenn sich ein Eckpunkt auf einem Kreis bewegt

Question

Der Ort des Schwerpunkts eines Dreiecks, wenn sich ein Eckpunkt auf einem Kreis bewegt

Mathematik
analytische Geometrie
Euklidische Geometrie

Babak

Lassen $ABC$ ein Dreieck sein, dessen Basis $BC$ Ist repariert. Was ist der Ort des Schwerpunkts, wenn der Scheitelpunkt $A$ bewegt sich auf einem bestimmten Kreis?

Eine Demonstration mit GeoGebra zeigt, dass der Ort ein Kreis ist, dessen Radius nur vom Radius des gegebenen Kreises abhängt, nicht von der Größe oder Position der festen Basis $BC$ .

Jean Marie

Lassen

r

$r$ sei der Radius des Kreises. Hier ist ein fast sofortiger Beweis:

\frac{1}{3} (a + r \cos θ + x_{B} + x_{C}, \frac{1}{3} (a + r \sin θ + y_{B} + y_{C})

$\frac13(a+r \cos \theta+x_B+x_C, \frac13(a+r \sin \theta+y_B+y_C)$ ist eine Parametergleichung eines Kreises mit Radius

\frac{r}{3}

$\frac{r}{3}$ .

Babak

Danke. Ich sehe, dass der Mittelpunkt des Ortes der Schwerpunkt des Dreiecks ist

O B C

$OBC$ Wo

O

$O$ ist der Mittelpunkt des gegebenen Kreises. Vielleicht finde ich jetzt eine nicht-analytische Lösung für das Problem.

Antworten (2)

Der Ort des Schwerpunkts eines Dreiecks, wenn sich ein Eckpunkt auf einem Kreis bewegt

Lassen $r$ sei der Radius des Kreises. Hier ist ein fast sofortiger Beweis: $\frac13(a+r \cos \theta+x_B+x_C, \frac13(a+r \sin \theta+y_B+y_C)$ ist eine Parametergleichung eines Kreises mit Radius $\frac{r}{3}$ .
Danke. Ich sehe, dass der Mittelpunkt des Ortes der Schwerpunkt des Dreiecks ist $OBC$ Wo $O$ ist der Mittelpunkt des gegebenen Kreises. Vielleicht finde ich jetzt eine nicht-analytische Lösung für das Problem.

Jean Marie · Answer 1

Geometrischer Beweis: Ich werde den Begriff "Schwerpunkt" für "gewichteten Durchschnitt" verwenden.

Lassen $D$ sei der Mittelpunkt des Liniensegments $[BC]$ .

Bei partieller Baryzentrierung ist es äquivalent, nach dem Baryzentrum zu suchen $W$ des variablen Punktes $A$ mit Gewicht $1$ und Fixpunkt $D$ mit Gewicht $2$ . Daher Punkt $W$ ist immer so $\vec{DW}=\frac13 \vec{DA}$ . Folglich der Ort des Punktes $W$ ist das Bild des Ortes von $A$ durch eine Homothetie mit Zentrum $D$ und Verhältnis $1/3$ ; Deshalb $W$ beschreibt einen Kreis mit einem Radius, der ein Drittel des Radius des beschriebenen Kreises ist $A$ .

Analytischer Nachweis:

{\begin{cases} X_{G} & = & \frac{1}{3} (X_{A} + R \cos θ + X_{B} + X_{C}) & = & X_{G} + \frac{1}{3} (R \cos θ) \\ j_{G} & = & \frac{1}{3} (j_{A} + R Sünde θ + j_{B} + j_{C}) & = & j_{G} + \frac{1}{3} (R Sünde θ) \end{cases}

$\begin{cases}x_G&=&\frac13(x_A+r \cos \theta+x_B+x_C)&=&x_G+\frac13(r \cos \theta)\\y_G&=&\frac13(y_A+r \sin \theta+y_B+y_C)&=&y_G+\frac13(r \sin \theta)\end{cases}$

mit $G=(x_G=\frac13(x_A+x_B+x_C),y_G=\frac13(x_A+x_B+x_C))$ ist der Schwerpunkt des Dreiecks $ABC$ .

Mathe-Liebhaber · Answer 2

Sprich, Scheitel $A$ bewegt sich im Kreis $X$ des Radius $r$ .

Dann $OA = r$ Und $G$ , der Schwerpunkt von $\triangle ABC$ , teilt Median $AM$ im Verhältnis $2:1$ . Nehmen Sie jetzt den Punkt $K$ auf Segment $OM$ so dass $OK:KM = 2:1$ . Gegeben $M$ Und $O$ sind fest, Punkt $K$ ist fest .

Egal wo Punkt $A$ ist auf dem Kreis $X$ , Abschnitt $KG$ Seiten teilt $AM$ Und $OM$ im gleichen Verhältnis von $2:1$ In $\triangle OAM$ . Also muss es parallel zur Basis sein $BC$ Und $KG = \frac{OA}{3} = \frac{r}{3}$ . Also der Abstand von $G$ aus $K$ ist fest wie $A$ bewegt sich auf dem Kreis mit gegebenem Radius $r$ .

Bitte beachten Sie auch, dass es zwei Punkte auf dem Kreis gibt, wenn $A, M$ Und $O$ sind kollinear und wir haben ein entartetes Dreieck $\triangle OAM$ . Das hält es immer noch $KG = \frac{r}{3}$ .

Also als Scheitel $A$ von $\triangle ABC$ bewegt sich im Kreis $X$ mit Radius $r$ , sein Schwerpunkt $G$ bewegt sich auf einem Kreis mit Mittelpunkt als $K$ und Radius als $\frac{r}{3}$ . $K$ ist der Schwerpunkt von $\triangle OBC$ .

Der Ort des Schwerpunkts eines Dreiecks, wenn sich ein Eckpunkt auf einem Kreis bewegt

Babak

Jean Marie

Babak

Antworten (2)

Jean Marie

Mathe-Liebhaber

Jean Marie

Gegebener Ort ist ein Kreis, beweise, dass zwei Geraden senkrecht stehen

Bei zwei verschiedenen sich schneidenden Kreisen ist die Länge der Sehne des größeren Kreises, die vom kleineren Kreis halbiert wird, gleich?

Richtungswinkeländerung beim Fahren entlang eines Kreisbogens in 3D

Wenn p,q,rp,q,rp,q,r Längen von Senkrechten von Ecken des Dreiecks ABCABCABC auf irgendeiner Geraden sind, beweise a2(p−q)(p−r)+b2(q−r)(q−p )+c2(r−p)(r−q)=4Δ2a2(p−q)(p−r)+b2(q−r)(q−p)+c2(r−p)(r−q)= 4Δ2a^2(pq)(pr)+b^2(qr)(qp)+c^2(rp)(rq)=4\Delta^2

Gibt es eine mögliche geometrische Methode, um die Länge dieses gleichseitigen Dreiecks zu finden?

Beziehung zwischen Satz des Pythagoras und Bein-Hypotenuse-Längen

Finden eines Punktes in einem Liniensegment mit gegebenem Verhältnis

Ermitteln der Seitenlängen eines Trapezes bei gegebenem Abstand zwischen seinem diagonalen Schnittpunkt und dem Mittelpunkt einer Diagonalen

Der Umkreismittelpunkt liegt auf der Höhe

Von einem Punkt auf einem gegebenen Kreis werden Tangenten an die Ellipse gezogen. Es muss der Ort des Kontaktakkords gefunden werden.