Richtungswinkeländerung beim Fahren entlang eines Kreisbogens in 3D

Der Trick dabei ist, den Kreis zu vergessen. In der Ebene des Kreises haben wir folgendes Diagramm:

Im zweidimensionalen Fall$\theta$ist die Winkeländerung, die Sie wollen, und wir sehen das in der Tat$\theta = \frac{d}{r}$(wobei alles im Bogenmaß gemessen wird). In drei Dimensionen müssen wir das nur anpassen:

In diesem Diagramm$\psi$ist Ihr "Neigungswinkel".

Betrachten Sie zuerst das Dreieck$ABC$. Der Winkel bei$B$ist richtig ($AB$ist parallel zu der$y$Achse und$BD$ist parallel zu der$x$Achse, konstruktionsbedingt), und wir kennen die Hypotenuse und einen weiteren Winkel. Wir können daher finden$BC$sein$r\sin\theta$Und$AB$sein$r\cos\theta$.

Betrachten Sie nun das Dreieck$BCD$. Der Winkel bei$D$ist richtig ($BD$ist parallel zu der$x$Achse,$CD$ist parallel zu der$z$Achse). Wir kennen wieder die Hypotenuse und einen anderen Winkel, also können wir erhalten$BD = r\sin\theta\cos\psi$.

Betrachten Sie als nächstes das Dreieck$ABD$, wo die Magie passieren wird. Der Winkel bei$B$ist richtig, und wir kennen zwei Seiten. Lassen$\alpha$der Winkel sein$A$. Dann haben wir$\tan \alpha = \frac{\sin\theta\cos\psi}{\cos\theta} = \tan\theta\cos\psi$. Pythagoras gibt auch$AD$sein$s := r\sqrt{\cos^2\theta+\sin^2\theta\cos^2\psi}$.

Schauen Sie sich nun das Dreieck genau an$ADE$. Es liegt in der$xy$Flugzeug, und ist nur eine Kopie des ersten Diagramms, mit$\theta$ersetzt durch$\alpha$Und$r$ersetzt durch$s$. Somit ist unsere Kursänderung genau richtig$\alpha$.

Um dies in Ihre gewünschte Form zu bringen, müssen wir das jetzt nur noch notieren$\theta = \frac{d}{r}$, und so ist unsere Richtungsänderung genau$\arctan(\tan\theta\cos\psi) = \arctan\left(\tan\left(\frac{d}{r}\right)\cos\psi\right)$.

Beachten Sie jedoch, dass "Neigungswinkel" mehrdeutig ist: Ich bin davon ausgegangen, dass Sie um eine Achse senkrecht zur ursprünglichen Fahrtrichtung neigen, aber es gibt andere gleichermaßen gültige Interpretationen, die völlig andere Antworten geben.