Beziehung zwischen Satz des Pythagoras und Bein-Hypotenuse-Längen

Bei einem normalen rechtwinkligen Dreieck haben wir die Beine A Und B und die Hypotenuse C , wo typischerweise A ist das kürzere Bein. Ich bin neugierig auf die Tatsache, dass

A + B > C

Aber

A 2 + B 2 = C 2

Diese Diskussion scheint ein einfacher Beweis zu sein – vorausgesetzt, der Satz des Pythagoras ist wahr. Auf einer intuitiven Ebene scheint es jedoch seltsam, dass das, was nicht gleich war, gleich gemacht wird, indem jedes Mitglied quadriert wird. Gibt es eine theoretische Erklärung aus der höheren Geometrie?

Notiz ( A + B ) 2 ≠ A 2 + B 2

Antworten (2)

In △ A B C mit ∠ C bezeichnet den Innenwinkel am Scheitelpunkt C und die Seitenlängen sind A , B , C Wir haben das Kosinusgesetz:

C 2 = A 2 + B 2 − 2 A B ⋅ cos ⁡ ∠ C
was sehr alt ist. Deshalb
( A + B ) 2 = A 2 + B 2 + 2 A B =
= A 2 + B 2 − 2 A B ⋅ cos ⁡ ∠ C + 2 A B ( 1 + cos ⁡ ∠ C ) =
= C 2 + 2 A B ( 1 + cos ⁡ ∠ C ) .
Seit 0 < ∠ C < π wir haben 1 + cos ⁡ ∠ C > 0. Deshalb
( A + B ) 2 = C 2 + 2 A B ( 1 + cos ⁡ ∠ C ) > C 2
was impliziert A + B > C .

Die Tatsache, dass sich die Innenwinkel eines Dreiecks summieren π (bedeutet ∠ C < π ) folgt aus dem Parallelpostulat. Das Kosinusgesetz folgt direkt aus dem Satz des Pythagoras, der aus dem Parallelpostulat folgt, und der Satz des Pythagoras ist bewiesen, ohne dass man das wissen muss A + B > C .

Der Satz des Pythagoras kann als Spezialfall des Kosinusgesetzes betrachtet werden ∠ C = π / 2 Und cos ⁡ ∠ C = 0. Wir können das Kosinusgesetz neu anordnen als

cos ⁡ ∠ C = A 2 + B 2 − C 2 2 A B
woraus wir sehen können, dass wenn ∠ C < π / 2 Dann A 2 + B 2 > C 2 , und wenn ∠ C > π / 2 Dann A 2 + B 2 < C 2 .

Das ist ziemlich gründlich, und ich schätze es sehr. Das denke ich A + B > C Und A 2 + B 2 = C 2 ist nur "eines dieser Dinge" über die Welt der Mathematik. Ersteres sagt uns die Größenordnungen von A Und B sind größer summiert als die Größenordnung von C , aber letzteres sagt uns einfach, dass - wiederum aus vektorieller Sicht - A Und B insgesamt zu C . Also ja, zwei Vektoren ergeben zusammen einen dritten Vektor, aber ihre Magnituden sind größer als die Magnitude des dritten Vektors. Wenn uns nicht irgendeine "ganz oben" Geometrie sagen kann, wie das geht, muss es einfach eine dieser Kuriositäten unseres mathematischen Universums sein.
Es gibt eine riesige Überlieferung von Gleichungen, Ungleichungen und anderen Theoremen über das Dreieck. Ein überraschendes Ergebnis ist der Satz von Morley bezüglich der Winkeldreiteilung.

In der Geometrie gibt es einen wichtigen Unterschied zwischen der Dreiecksungleichung A + B > C und Satz des Pythagoras A 2 + B 2 = C 2 : Der Beweis des ersteren benötigt das parallele Postulat nicht, während der Beweis des letzteren dies tut.

Tatsächlich ist in Euklids Elementen die Dreiecksungleichung Prop. 20 von Buch I, während der Satz des Pythagoras viel später als Prop. 47 von Buch I bewiesen wird.

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