Von einem Punkt auf einem gegebenen Kreis werden Tangenten an die Ellipse gezogen. Es muss der Ort des Kontaktakkords gefunden werden.

Dies ist möglicherweise nicht die Lösung, nach der Sie suchen:

Lassen$\mathcal C=\{x^2+y^2=1\}$der Einheitskreis sein. Lassen$O' = (\alpha, \beta)$irgendein Punkt außerhalb dieses Kreises sein. Lassen$O'P'$Und$O'Q'$zwei Tangenten sein$\mathcal C$. Man kann den Mittelpunkt überprüfen$m' = (x, y)$von$P'Q'$ist gegeben durch (warum?)

$$(x, y) = m' = \frac{1}{\alpha^2+ \beta^2} (\alpha, \beta).$$

Nehmen Sie das jetzt an$O = (\alpha, \beta)$liegt auf der Ellipse$\{ (ax)^2 + (by)^2 = d^2\}$. Daher$(a\alpha)^2 + (b\beta)^2 = d^2$. Dann

$$d^2(x^2 + y^2)^2 = \frac{d^2}{(\alpha^2 + \beta^2)^2}$$

Und

$$(ax)^2 +(by)^2 = \frac{(a\alpha)^2 + (by)^2}{(\alpha^2 + \beta^2)^2}=\frac{d^2}{(\alpha^2 + \beta^2)^2}$$

Also der Ort des Mittelpunktes$m'$wird von gegeben

$$\tag{1} (ax)^2 + (by)^2 = d^2 (x^2+ y^2)^2.$$

Das Obige hängt folgendermaßen mit Ihrer Frage zusammen: Betrachten Sie die Transformation:

$$(x, y) \mapsto (x/a, y/b).$$ Unter dieser Transformation ist die Ellipse$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}=1$wird an den Einheitskreis gesendet$\mathcal C$, während der Kreis$x^2 + y^2 = d^2$wird an die Ellipse gesendet$(ax)^2 + (by)^2 = d^2$. Die entscheidende Beobachtung ist, dass Tangentenlinien$OP, OQ$werden auch an Tangentenlinien gesendet$O'P', O'Q'$, und der Mittelpunkt$m$von$PQ$werden zum Mittelpunkt geschickt$m'$von$P'Q'$(siehe hier ). Also, wenn Sie die inverse Transformation nehmen

$$(x, y) \mapsto (ax, by)$$

Dann der Ort von$m'$wird an den Ort von gesendet$m$. Dies impliziert Ihre Gleichung: wenn Sie sich ändern$x$,$y$Zu$x/a$,$y/b$jeweils in (1), erhalten Sie

$$x^2 + y^2 = d^2 \left(\frac{x^2}{a^2}+ \frac{y^2}{b^2}\right)^2.$$

Immer noch nicht das, was Sie wollen, verwendet aber Joachimsthals-Notationen .

Der Ort ist der Mittelpunkt der beiden Schnittpunkte von

$$s=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-1=0$$ und von$s_1^2=s \cdot s_{11}$) $$(\frac{x(O)x}{a^2}+\frac{y(O)y}{b^2}-1)^2=(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-1)(\frac{x(O)^2}{a^2}+\frac{y(O)^2}{b^2}-1)$$ was (da sich die Quadratwurzeln aufheben$\frac{x_1+x_2}{2}$Und$\frac{y_1+y_2}{2}$) Ist $$(x,y)=(\frac{x(O)}{\frac{x(O)^2}{a^2}+\frac{y(O)^2}{b^2}},\frac{y(O)}{\frac{x(O)^2}{a^2}+\frac{y(O)^2}{b^2}}),$$ Wo$x(O)^2+y(O)^2=d^2$seit$O$ist in diesem Kreis.

Schreiben$h=x(O), k=y(O)$in M2

R=QQ[a,b,d]
S=R[h,k,x,y,MonomialOrder=>Eliminate 2]
I=ideal(h^2+k^2-d^2,(b^2*h^2+a^2*k^2)*x-a^2*b^2*h,(b^2*h^2+a^2*k^2)*y-a^2*b^2*k)
gens gb I

Erträge

$$a^6b^6d^2(d^2(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2})^2-(x^2+y^2)).$$