Zeigen Sie, dass die Asymptoten einer Hyperbel ihre Tangenten an Unendlichkeitspunkten sind

Question

Zeigen Sie, dass die Asymptoten einer Hyperbel ihre Tangenten an Unendlichkeitspunkten sind

Geometrie
Mathematik
Kegelschnitte
analytische Geometrie
Projektive Geometrie

Vim

Im Sinne der projektiven Ebene ist eine (projektive) Hyperbel nur ein elliptischer Kegel in 3D mit dem Projektionspunkt als Kegelspitze $O$ , und mit der "ebenen Ebene" (auf die projiziert werden soll) so geneigt, dass sie sich mit beiden Hälften des Kegels schneidet, wobei das Projektionsbild auf der ebenen Ebene eine Hyperbelkurve im üblichen Sinne ist, wie das folgende Bild zeigt:

Nun möchte ich zeigen, dass die beiden Asymptoten der Hyperbel in der projektiven Ebene die Hyperbel (den Kegel) genau einmal schneiden, dh beide die Hyperbel (den Kegel) im Unendlichen tangieren.

Ich habe gezeigt, dass der Kegel genau zwei Unendlichkeitspunkte hat, die beide genau eine projektive Tangente (eine Tangentenebene an den Kegel) haben. Wo ich Probleme habe, ist, dass ich nicht weiß, warum diese beiden Tangentenlinien (Ebenen) genau auf die Asymptoten auf der ebenen Ebene projizieren. Sicher, eine Sache zu beachten ist, dass beide die Hyperbel (den Kegel) genau einmal im Unendlichen und nirgendwo auf der "gewöhnlichen Ebene" (der Ebenenebene) schneiden, genauso wie beide Asymptoten die Hyperbelkurve auf der Ebene nicht schneiden Ebene. Das Problem ist, dass es leider viele andere Linien außer den Asymptoten gibt, die die Hyperbel auf der Ebene nicht schneiden, und es scheint, dass sie auf diese Weise nicht unterschieden werden können.

Bearbeiten hat gerade eine Störungstechnik ausgearbeitet, die Asymptoten und andere Linien unterscheiden kann, die die Hyperbel nicht schneiden, und beobachtet, dass Asymptoten, wenn sie nur ein wenig gestört werden, die Hyperbelkurve schneiden, während andere Linien unter Störungen "stabil" sind. Damit ist dieses Problem grundsätzlich gelöst, aber auch neue Ansätze sind willkommen und erwünscht.

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amd · Answer 1

Hier ist ein anderer Ansatz. Wenn man in homogenen Koordinaten arbeitet, kann die Gleichung eines Kegelschnitts geschrieben werden als $\mathbf x^TC\mathbf x=0$ , Wo $C$ ist eine symmetrische Matrix. Mit polpolaren Eigenschaften ist es nicht allzu schwierig zu zeigen, dass alle Tangentenlinien $\mathbf l$ zu einem Kegelschnitt $C$ erfüllen die duale Gleichung $\mathbf l^T C^{-1} \mathbf l=0$ und dass der Berührungspunkt der Pol der Linie ist, $C^{-1} \mathbf l$ .

Da Schnitt und Tangentialität affine Eigenschaften sind, müssen wir wlog nur die rechteckige Standardhyperbel untersuchen $x^2-y^2=1$ . Seine Matrix ist $C=\operatorname{diag}(1,-1,-1)$ , was seine eigene Inverse ist. Die Asymptoten dieser Hyperbel sind die Linien $x\pm y=0$ , mit entsprechenden homogenen Vektoren $\mathbf l=[1:1:0]$ Und $\mathbf m=[1:-1:0]$ . Wir haben dann für die Tangentialpunkte $C^{-1}\mathbf l=[1:-1:0]$ Und $C^{-1}\mathbf m=[1:1:0]$ , die beide Punkte im Unendlichen sind, wie postuliert.

Aus einer anderen Richtung kommend, gehen die Tangenten durch einen Punkt $\mathbf p$ zu einem nicht entarteten Kegelschnitt $C$ sind durch den entarteten Kegelschnitt gegeben $\mathcal M_{\mathbf p}^T C^{-1} \mathcal M_{\mathbf p}$ .† Hier, $\mathcal M_{\mathbf p}$ ist die „Kreuzproduktmatrix“ von $\mathbf p$ , dh, $\mathcal M_{\mathbf p}\mathbf x = \mathbf p\times \mathbf x$ . Die Tangenten an unsere Standardhyperbel durch ihren Mittelpunkt – in diesem Fall den Ursprung $\mathbf p=[0:0:1]$ – sind dann

[\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} 0 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}] = [\begin{matrix} - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}],

$\begin{bmatrix} 0&1&0 \\ -1&0&0 \\ 0&0&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&0&0 \\ 0&-1&0 \\ 0&0&-1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0&-1&0 \\ 1&0&0 \\ 0&0&0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&0 \end{bmatrix},$ was der kartesischen Gleichung entspricht

x^{2} - y^{2} = 0

$x^2-y^2=0$ . Berücksichtigen Sie dies

(x + y) (x - y) = 0

$(x+y)(x-y)=0$ , stellen wir fest, dass die Asymptoten der Hyperbel die Tangenten durch ihren Mittelpunkt sind. Die Tangentialpunkte können dann wie oben gefunden werden oder durch Homogenisieren der beiden Gleichungen und Lösen des resultierenden Systems:

\begin{aligned} X^{2} - j^{2} - w^{2} & = 0 \\ X^{2} - j^{2} & = 0 \end{aligned}

$\begin{align} x^2-y^2-w^2 &= 0 \\ x^2-y^2 &= 0 \end{align}$ mit Lösung

x = \pm y

$x=\pm y$ ,

w = 0

$w=0$ , dh die Punkte mit homogenen Koordinaten

[1 : \pm 1 : 0]

$[1:\pm1:0]$ , wie oben.

Übrigens sind alle nicht entarteten Kegelschnitte projektiv äquivalent. Sobald Sie die Linie im Unendlichen ausgewählt haben, können sie anhand der Anzahl der Schnittpunkte mit dieser Linie unterschieden werden: Null für Ellipsen, eine für Parabeln und zwei für Hyperbeln. Der Mittelpunkt eines Kegelschnitts (falls vorhanden) ist der Pol der Geraden im Unendlichen, also können wir aus dem obigen Ergebnis entnehmen, dass die Berührungspunkte der Asymptoten einer Hyperbel genau ihre Schnittpunkte mit der Geraden im Unendlichen sind.

†: Dies ist eine Folge der obigen Doppelkegelgleichung. Eine Gerade durch zwei Punkte ist durch ihr Kreuzprodukt gegeben, also jeder Punkt $\mathbf x$ auf einer Tangente durch den Punkt $\mathbf p$ erfüllt die Gleichung

(P \times X)^{T} C^{- 1} (P \times X) = (M_{P} X)^{T} C^{- 1} (M_{P} X) = X (M_{P}^{T} C^{- 1} M_{P}) X = 0.

$(\mathbf p\times \mathbf x)^T C^{-1} (\mathbf p\times\mathbf x) = (\mathcal M_{\mathbf p}\mathbf x)^T C^{-1} (\mathcal M_{\mathbf p}\mathbf x) = \mathbf x(\mathcal M_{\mathbf p}^T C^{-1} \mathcal M_{\mathbf p})\mathbf x = 0.$

Danke. Was bedeutet es, wenn Sie eine homogene Koordinate verwenden? $\mathbf l$ eine Linie darstellen? Ist es der Normalenvektor der Ebene, der die Linie bestimmt?
@Vim Genau. Sie packen die Koeffizienten der Gleichung $ax+by+c=0$ in einen Vektor $\mathbf l=[a:b:c]$ so dass die Geradengleichung wird $\mathbf l^T\mathbf x=0$ . Wenn Sie die projektive Ebene als modellieren $z=1$ Flugzeug rein $\mathbb R^3$ , das ist die Normale des Flugzeugs in $\mathbb R^3$ das entspricht einem line-in $\mathbb P^2$ . Beachten Sie, dass diese Vektoren kovariant sind und sich daher anders transformieren als die Vektoren, die Punkte darstellen. Mit dieser Darstellung können Sie auch viel aus der Punkt-Linien-Dualität der Projektionsebene herausholen.

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amd

Vim

amd

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