Umfang eines gleichseitigen Dreiecks, das in Bezug auf ein Quadrat gezeichnet wird.

Question

Umfang eines gleichseitigen Dreiecks, das in Bezug auf ein Quadrat gezeichnet wird.

Geometrie
Mathematik
analytische Geometrie

Faiq Irfan

Hier ist eine Frage, die beim International Kangaroo Math Contest 2016 gestellt wurde . Die Frage geht so:

Wenn der Umfang des Quadrats in der Abbildung 4 Einheiten beträgt, wie groß ist dann der Umfang des gleichseitigen Dreiecks?

Was ich getan habe:

Nun, ich habe etwas sehr Naives versucht und es war die Annahme, dass das gleichseitige Dreieck die Oberseite des Quadrats in seiner Mitte schneidet. Daher ergibt sich folgendes Ergebnis.

Nach dem Satz des Pythagoras,

\bar{A B} = \bar{M C} = \sqrt{{\bar{B C}}^{2} + {\bar{B M}}^{2}} = \sqrt{{(1)}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}} = \frac{\sqrt{5}}{2}

$\overline{AB} = \overline{MC} = \sqrt{\overline{BC}^2 + \overline{BM}^2} = \sqrt{\left(1\right)^2 + \left(\frac12\right)^2} = \frac{\sqrt5}{2}$

Der Umfang des Dreiecks ist also:

\begin{aligned} P & = \bar{A F} + \bar{F M} + \bar{M C} + \bar{C D} + \bar{D E} + \bar{E A} \\ = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + 1 + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \\ = \frac{5}{2} + \sqrt{5} \end{aligned}

$\begin{align} P&=\overline{AF} +\overline{FM}+\overline{MC}+\overline{CD}+\overline{DE}+\overline{EA}\\ &= \frac12+\frac12+\frac{\sqrt5}2+1+\frac12+\frac{\sqrt5}2\\ &= \frac52+\sqrt5 \end{align}$

Dies ist jedoch nicht die richtige Antwort, und ich weiß, dass das Problem in der Annahme liegt, dass dies der Fall ist $M$ ist der Mittelpunkt von $\overline{AB}$ . Was ist also die richtige Methode und Antwort?

Danke für die Aufmerksamkeit.

Antworten (5)

Umfang eines gleichseitigen Dreiecks, das in Bezug auf ein Quadrat gezeichnet wird.

Gesehen · Answer 1

Wir müssen nur wissen, dass die $\angle ABC=30°$ , der Rest ist einfach geradeaus.

Robert z · Answer 2

$M$ ist NICHT der Mittelpunkt von $AB$ . Beachten Sie, dass der Winkel $\angle MCB$ ist gleich $90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}$ , Deshalb

| M B | = | B C | bräunen (30^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{3}} .

$|MB|=|BC|\tan(30^{\circ})=\frac{1}{\sqrt{3}}.$ Darüber hinaus

| E D | = | M B |

$|ED|=|MB|$ (Warum?). Kannst du es von hier nehmen?

Ich wünschte, ich hätte mich aufgefrischt, bevor ich meine Antwort gepostet habe, ich habe vielleicht zu viel verraten!

Tartaglias Stottern · Answer 3

Beachten Sie, dass der Winkel AED ist $\frac{\pi}{3}$ Radiant (oder 60 Grad, wenn Sie es vorziehen). Da die Seite gegenüber diesem Winkel ist $1$ , Und $\tan(\frac{\pi}{3})$ Ist $\sqrt{3}$ , wissen wir, dass die Seite ED lang sein muss $\frac{\sqrt{3}}{3}$ . Das Dreieck MBC ist EAD ähnlich, also auch die Seite MB $\frac{\sqrt{3}}{3}$ . Du kannst den Satz des Pythagoras und die Tatsache, dass jede Seite des Quadrats 1 ist, verwenden, um die Längen aller verbleibenden Seiten zu finden, die benötigt werden.

Cäsareo · Answer 4

Gegeben sei ein horizontales Segment mit Länge $L$ und zwei Linien

{\begin{cases} j_{1} = X bräunen (\frac{π}{2}) \\ j_{2} = (L - X) bräunen (\frac{π}{3}) \end{cases}

$\begin{cases} y_1 = x \tan(\frac{\pi}{2})\\ y_2 = (L-x)\tan(\frac{\pi}{3}) \end{cases}$

ihr Schnittpunkt ist bei

j_{1} = j_{2} \Rightarrow X = \frac{bräunen (\frac{π}{3}) L}{bräunen (\frac{π}{3}) + bräunen (\frac{π}{2})}

$y_1=y_2\Rightarrow x = \frac{\tan(\frac{\pi}{3})L}{\tan(\frac{\pi}{3})+\tan(\frac{\pi}{2})}$

daher hat das gleichseitige Dreieck einen Umfang $3L$ und das Quadrat hat Umfang $4 x = \frac{4L\tan(\frac{\pi}{3})}{\tan(\frac{\pi}{3})+\tan(\frac{\pi}{2})} = \frac{4L\sqrt3}{\sqrt 3+1}$

farruhota · Answer 5

Unter Bezugnahme auf die Figur lassen Sie $x$ Und $h$ Halbseite und Höhe des gleichseitigen Dreiecks sein, bzw.:

$\hspace{3cm}$

Für das gleichseitige Dreieck:

H^{2} + X^{2} = (2 X)^{2} \Rightarrow H^{2} = 3 X^{2} \Rightarrow H = X \sqrt{3} .

$h^2+x^2=(2x)^2 \Rightarrow h^2=3x^2 \Rightarrow h=x\sqrt{3}.$

Aus der Ähnlichkeit von Dreiecken:

\frac{H}{4} = \frac{X}{2 X - 4} \Rightarrow \frac{X \sqrt{3}}{4} = \frac{X}{2 (X - 2)} \Rightarrow X = \frac{2 \sqrt{3}}{3} + 2 \Rightarrow P = 6 X = 4 \sqrt{3} + 12.

$\frac{h}{4}=\frac{x}{2x-4} \Rightarrow \frac{x\sqrt{3}}{4}=\frac{x}{2(x-2)} \Rightarrow x=\frac{2\sqrt{3}}{3}+2 \Rightarrow P=6x=4\sqrt{3}+12.$

Nachtrag: Es wurde der Umfang des Platzes angegeben $4$ , nicht die Seite. Also muss die Antwort durch dividiert werden $4$ zu bekommen $3+\sqrt{3}$ .

Umfang eines gleichseitigen Dreiecks, das in Bezug auf ein Quadrat gezeichnet wird.

Faiq Irfan

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Robert z

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Robert z

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farruhota

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