Finde eine Ebene mit Abstand 333 von 3x−y−z=03x−y−z=03x-yz = 0

Ich muss ein Flugzeug so finden, dass es vom Flugzeug entfernt ist 3 X − j − z = 0 Ist 3 . Da der Abstand nur für parallele Ebenen definiert ist, weiß ich bereits, dass sie parallel sein müssen, und dann hat die Gleichung der neuen Ebene denselben Normalenvektor ( 3 , − 1 , − 1 ) .

Außerdem schneidet diese Ebene den Ursprung, weil ( 0 , 0 , 0 ) erfüllt seine Gleichung. Meine Idee war also, den Normalenvektor zu normalisieren und ihn dann mit zu multiplizieren 3 . Ich könnte es dann in den Ursprung setzen und es als Entfernungspunkt sehen 3 vom Ursprung (und auch von der Ebene), und dann sollte dieser Punkt in der neuen Ebene liegen, also muss er seine Gleichung erfüllen, die lautet:

3 X − j − z + D = 0

Ich denke, das könnte funktionieren, aber ich denke nicht, dass es der beste Weg ist, diese Übung zu lösen.

Ein Freund von mir schickte mir eine Lösung wie diese:

3 ( X − X 0 ) − 1 ( j − j 0 ) − 1 ( z − z 0 ) = 0 3 X − j − z + ( − 3 X 0 + j 0 + z 0 ) = 0

dann sollten wir finden P = ( X 0 , j 0 , z 0 ) so dass − 3 X 0 + j 0 + z 0 = 0 . Dann, 3 P sollte ein Punkt der neuen Ebene sein und daher ihre neue Gleichung erfüllen.

Was ist der beste Weg, dies zu lösen, und könnten Sie mir erklären, was mein Freund in seiner Lösung getan hat?

Wandle deine Ebenengleichung in die hessische um und bestimme die Variable D wie groß der Abstand zum anderen ist 3
Wäre es nicht einfacher, mit einem Punkt zu beginnen P in das Flugzeug und gehen Sie in Richtung
v = 3 ⋅ ( 3 , − 1 , − 1 ) “ ( 3 , − 1 , − 1 ) “
Dann hol dir alle X ∈ R 3 so dass ( X − P 1 ) ⋅ v = 0 wo wir wissen, dass wir wählen können P 1 = P + v .
@Guerlando OCs Die Lösung deines Freundes macht keinen Sinn. Wenn P erfüllt − 3 X 0 + j 0 + z 0 = 0 , dann tut es das 3 P , Und 5 P . Es identifiziert also die Entfernung überhaupt nicht eindeutig. Deine Lösung klingt absolut vernünftig.
@Mr.Fry, warum postest du nicht einfach deinen Kommentar als Antwort?
@Seth, ich hatte den Gedanken und intuitiv schien es richtig zu sein, aber ich habe die Einzelheiten nicht ausgearbeitet, damit es möglicherweise Löcher gibt.
@Mr.Fry Ihr Kommentar ist definitiv richtig und es scheint mir der beste Weg zu sein, dieses Problem anzugehen. Tatsächlich können wir für dieses Beispiel wählen P = 0 und dann ist es ganz einfach, eine Gleichung für das Flugzeug zu berechnen (ich habe auch überprüft, ob die Gleichung mit der aktuellen Antwort übereinstimmt, die bereits 3 positive Stimmen hat)

Antworten (2)

Gleichung der Ebene parallel zur gegebenen Ebene: 3 X − j − z = 0 Ist

3 X − j − z + C = 0
Wo C ist eine beliebige Konstante. Jetzt mit Abstandsformel für parallele Ebenen folgendermaßen
| C − 0 | ( 3 ) 2 + ( − 1 ) 2 + ( − 1 ) 2 = 3
| C | = 3 11
C = ± 3 11
Es gibt also zwei parallele Ebenen im Abstand 3 auf beiden Seiten der gegebenen Ebene: 3 X − j − z = 0 . Daher die Gleichungen unbekannter Ebenen
3 X − j − z ± 3 11 = 0

Bearbeiten : Im Allgemeinen ist der Abstand zwischen zwei beliebigen parallelen Ebenen: A X + B j + C z + D 1 = 0 & A X + B j + C z + D 2 = 0 Ist

= | D 1 − D 2 | A 2 + B 2 + C 2

Ich beschloss, den von mir gemachten Kommentar als Lösung hinzuzufügen. Ich denke, das ist etwas intuitiver für mich. Die Lösung von Harish ist auch nett und ich meine nichts mit der Aussage "wäre es nicht einfacher", da es nur um persönliche Vorlieben geht.

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